Öppna frågor undervisning i matematik

Klassrumsdialog inom matematikundervisningen – matematiska diskussion inom helklass inom grundskolan

3. Resultat

Det på denna plats kapitlet startar oss tillsammans med för att ge enstaka foto från vilket forskningen säger angående vilket likt kännetecknar den typ från klassrumsdialog likt engagerar studenter inom gemensamma matematiska resonemang, samt hur denna typ från konversation skiljer sig ifrån andra typer från klassrumsdialog.

oss lyfter fram nyckelfaktorer såsom äger identifierats från forskarna inom studierna, liksom dem anser artikel från innebörd på grund av hur klassrumsdialogen gestaltar sig. Därefter följer en del inom vilket oss redogör på grund av specifika lärarhandlingar liksom beskrivs inom dem olika studierna, samt oss visar vid vilket sätt forskarna menar för att dem förmå främja gemensamma matematiska resonemang.

inom detta sista avsnittet inom resultatdelen beskriver oss situationer inom undervisningen då läraren kunna behöva vandra in samt leda samtalen inom högre utsträckning samt hur läraren då kunna utföra. inom slutet från kapitlet , vid s. 45–47, äger oss sammanställt enstaka tabell ovan dem arton studierna vilket ligger mot bas till resultatet.

inom tabellen anges författare, titel, publiceringsår, vilket nation studien äger utförts inom samt matematiskt innehåll samt studiens primära resultat.

Utforskande diskussion – studenter uttrycker sina egna idéer samt engagerar sig inom andras

En utgångspunkt till översikten existerar för att samtalen inom matematikklassrum är kapabel titta olika ut samt vid således vis ge olika förutsättningar på grund av elevers deltagande samt utbildning.

Tre olika typer från klassrumsdialog beskrivs inom forskningen. Dessa dialogtyper benämns disputerande konversation, kumulativa diskussion samt utforskande konversation (Hunter, ; handlar i textilier & Sams, ). Skillnaderna handlar framför allt angående inom vilken mån eleverna engagerar sig inom varandras idéer. inom disputerande diskussion existerar eleverna inriktade vid för att försvara samt behålla kontrollen ovan sina egna idéer, snarare än för att engagera sig inom samt försöka förstå samt dra lärdom från sina klasskamraters idéer.

inom kumulativa konversation, å andra sidan, accepterar eleverna okritiskt dem andra elevernas idéer. Eleverna utvärderar alltså ej varandras påståenden alternativt lösningar, utan godtar dem utan omsvep. inom dem utforskande samtalen däremot, uttrycker samt motiverar eleverna sina egna idéer dock engagerar sig även inom klasskamraternas idéer samt försöker vid således sätt nå enstaka gemensam medvetande.

detta existerar alltså dem utforskande samtalen såsom innebär för att eleverna deltar inom vad man är kapabel betrakta såsom gemensamma matematiska resonemang, vilket existerar den typ från diskussion liksom står inom fokus på grund av denna översikt.²

^{2 Benämningarna vid den på denna plats typen från dialog skiljer sig mellan studierna, dock oss uppfattar för att detta man talar ifall inom samtliga fall äger stora likheter, samt för att begreppet utforskande diskussion (exploratory talk) fångar in huvuddragen inom detta likt avses.}

oss äger därför valt för att nyttja detta term. Några andra benämningar existerar argumentation-based inquiry (Makar, Bakker & Ben-Zvi, ), samt inquiry based mathematics (Kazemi & Stipek, ).

Utforskande konversation innebär i enlighet med handlar i textilier samt Sams ()³ att

all betydelsefull upplysning delas
alla deltagare inom ett lag inbjuds för att bidra mot diskussionen
åsikter samt idéer respekteras samt beaktas
alla uppmanas för att klargöra sina skäl (motivera/argumentera)
utmaningar samt alternativ görs tydliga samt förhandlas
gruppen försöker nå enighet innan dem tar beslut samt agerar.

(Mercer & Sams, , s.

)

^{3 tillsammans referens mot Barnes, D.R. samt Todd, F. (). Communication and learning revisited: making meaning through talk. Portsmouth, NH: Boynton/Cook Publishers.}

Utforskande konversation beskrivs inom några från studierna inom kontrast mot detta samtalsmönster likt kallas IRE (Henning, McKeny, Foley, & Balong, ).

IRE står på grund av initiering, respons samt analys. inom detta samtalsmönster dominerar läraren samtalet samt eleverna bidrar inom begränsad utsträckning. konversation i enlighet med IRE inleds oftast tillsammans med enstaka fråga liksom läraren ställer mot eleverna (initierar), varpå eleverna svarar (responderar), varefter läraren utvärderar (evaluerar) elevernas svar.

Lärarens problem att diskutera besitter då ofta bara en riktig svar. Den denna plats typen från ämnen kallas ibland på grund av stängda problem att diskutera samt kännetecknas från för att dem existerar utvärderande snarare än utforskande. detta önskar yttra för att dem kontrollerar för att (eller om) eleverna äger begripet snarare än hur dem besitter begripet. Öppna problem att diskutera, däremot, kunna äga flera svar vilket (alla) existerar riktig.

dem olika svaren vid öppna problem att diskutera förmå exempelvis företräda skilda synsätt, såsom alternativa lösningsstrategier vid en bekymmer. Öppna problem att diskutera ifall hur eleverna förstår något ger läraren tillfälle för att ta tillvara elevers olika idéer inom klassrummet.

Detta knyter an mot lärarens respons vid dem idéer likt eleverna uttrycker.

inom detta utforskande samtalet tas elevernas idéer tillvara samt används liksom enstaka tillgång till för att fördjupa elevernas matematiska medvetande. Elevernas idéer verifieras samt värdesätts samt blir enstaka utgångspunkt till detta fortsatta samtalet (Hufferd-Ackles, Fuson & Sherin, ).

Fyra nyckelfaktorer tillsammans med innebörd till hur klassrumsdialogen gestaltar sig

Utforskande konversation kännetecknas från för att studenter uttrycker sina matematiska idéer samt engagerar sig inom andra elevers matematiska idéer.

Eleverna deltar alltså genom för att motivera, jämföra samt bedöma påståenden. Läraren, å sin blad, stödjer elevernas deltagande inom samtalen genom för att ställa öppna ämnen, lyssna vid samt ta tillvara elevernas funderingar samt uppmuntra elevers engagemang inom andra elevers matematiska idéer. oss bör för tillfället förbättra detta genom för att utgå ifrån Hufferd-Ackles samt kollegors () framställning till fyra nyckelfaktorer likt äger innebörd på grund av hur dialogen inom klassrummet gestaltar sig, nämligen:

Vem liksom ställer ämnen samt vilken typ från problem att diskutera vilket ställs.
Vem såsom redogör samt motiverar matematiska idéer.
Vem likt bidrar tillsammans med matematiska idéer.
Vem likt tar ansvar på grund av lärandet samt utvärderingen från matematiska resonemang.

I detta nästa redogör oss på grund av tre studier såsom relaterar mot dessa nyckelfaktorer.

En klassrumsresa mot utforskande samtal

Vi börjar tillsammans den lärande inom vilken Hufferd-Ackles samt kollegor () redogör till dem fyra nyckelfaktorerna.

inom studien följer forskarna ett pedagog samt hennes studenter beneath en skolår. Studien visar hur samtalen inom matematikklassrummet förändras inom förhållande mot dem fyra nyckelfaktorerna. Förändringen går inom riktning mot utforskande diskussion. Processen sammanfattas nedan. enstaka mer utförlig skildring återfinns inom slutet från detta avsnitt.

Läraren inom studien besitter endast en års kunskap från utbildning.

såsom ett sektion inom studien inför läraren en nytt forskningsbaserat arbetssätt tillsammans betoning vid gemensamma matematiska resonemang. Lärarna får stöd inom denna förändring nära återkommande möten tillsammans med kollegor. Varken läraren alternativt eleverna inom studien existerar vana nära utforskande diskussion då studien inleds. detta fullfölja detta möjligt för att följa både lärarens samt elevernas förändrade roller samt beteenden beneath studiens gång.

Vem ställer frågorna samt vilken typ från problem att diskutera ställs?

Inledningsvis existerar läraren den enda likt ställer ämnen, samt då framför allt stängda ämnen. Elevernas (korta) svar vid dessa ämnen existerar även inom huvudsak elevernas bidrag mot samtalen – dem ställer själva inga ämnen. Den förändring likt förmå iakttas mot slutet från studien existerar för att lärarens problem att diskutera förändrats.

Syftet tillsammans frågorna blir för tillfället snarast för att utforska elevernas idéer samt idéer. Läraren ställer öppna ämnen, alternativt ämnen vilket följer upp elevers idéer. Eleverna ställer för tillfället även problem att diskutera mot varandra samt flera från dessa existerar varför-frågor likt kräver ett motivering.
Vem redogör samt motiverar matematiska idéer?

Inledningsvis syns erhålla initiativ ifrån läraren till för att locka eleverna för att dela tillsammans med sig från sina idéer, strategier alternativt förklaringar. likt nämndes ovan existerar dem problem att diskutera vilket läraren ställer inriktade vid en visst (kort) svar, samt elevernas enda bidrag existerar deras (ofta korta) svar vid dessa problem att diskutera.

Förändringen innebär för att läraren lyssnar noga vid detta eleverna säger samt uppmuntrar eleverna för att förbättra sina förklaringar samt fördjupa sina matematiska resonemang. Eleverna redogör samt motiverar för tillfället sina idéer.
Vem bidrar tillsammans med matematiska idéer? Inledningsvis står läraren ofta nära tavlan tillsammans ett skrivdon inom handen samt redogör till eleverna.

Eleverna bidrar ej tillsammans med sina matematiska idéer. Förändringen innebär för att läraren följer upp elevernas förklaringar samt bygger vidare vid dem. Elevernas felsvar används såsom möjligheter mot utbildning. Läraren tillåter för att hennes förklaringar avbryts från eleverna. Eleverna uppvisar ett säkerhet då detta gäller dem egna idéerna, även ifall dessa skiljer sig ifrån andra elevers idéer.

dem bidrar tillsammans med sina idéer då läraren alternativt andra studenter resonerar, dem jämför samt dem kontrasterar idéer.
Vem tar ansvar på grund av lärandet samt utvärderingen från matematiska resonemang? inom inledningen upprepar läraren detta svar denna får ifrån enstaka student på grund av kurera klassen samt bemöter detta, antingen genom för att bekräfta för att detta existerar riktig alternativt genom för att visa den korrekta metoden.

Eleverna existerar passiva lyssnare. Förändringen innebär för att läraren uppmuntrar samt förväntar sig för att eleverna tar ansvar på grund av för att gemensamt bedöma allas arbeten samt koncept Läraren hjälper mot samt följer upp nära behov. Eleverna hjälper idag varandra för att förstå; dem tar initiativ mot för att klargöra egna samt andras idéer. för att en resonemang håller matematiskt blir kriteriet på grund av för att resonemanget bör accepteras, snarare än lärarens bekräftelse.

Ökat fokus vid själva matematiken

Vi bör uppehålla oss lite nära den nyckelfaktor liksom äger tillsammans med frågorna inom matematikklassrummet för att utföra – vem vilket ställer dem samt vilken typ dem existerar från – tillsammans med konsekvens ifrån ett ytterligare undersökning likt även den beskriver hur lärares samt elevers roller förändras sidled ovan period (McCrone, ).

Studien pågår inom sex månader. Läraren inom studien besitter utdragen upplevelse från jobb liksom pedagog dock anser sig artikel svag inom matematik. denna äger beneath ett period haft ambitionen för att förbättra sin förmåga för att leda studenter inom gemensamma matematiska resonemang samt äger tidigare deltagit inom fortbildning inom matematikdidaktik.

nära återkommande möten träffar denna kollegor samt pratar angående hur man kunna leda utforskande samtal.

Studien från McCrone fokuserar vid enstaka ytterligare aspekt från denna nyckelfaktor än vad Hufferd-Ackles samt kollegor utför. Förändringarna gäller på denna plats snarast vilket läraren samt eleverna fokuserar vid inom samtalen, samt innebär inom grova drag för att fokus flyttas ifrån procedurer mot själva matematiken.

Tidigt inom studien existerar lärarens ämnen inom huvudsak inriktade mot själva utförandet, alltså hur eleverna går tillväga då dem löser ett arbetsuppgift (proceduren). detta existerar framförallt problem att diskutera vid detaljnivå angående användningen från ett viss lösningsstrategi, exempelvis vilket gjorde ni sedan? Elevernas bidrag består då främst från beskrivningar från dem olika stegen nära lösningen från ett övning, alternativt från numeriska svar utan förklaringar.

Det förekommer även inledningsvis inom begränsad omfattning för att läraren ställer problem att diskutera angående den matematiska strukturen inom enstaka övning (McCrone, ).

detta kunna existera problem att diskutera angående matematiska attribut hos enstaka svar alternativt ett lösningsstrategi, exempelvis Hur förmå ni nyttja division inom detta ni menar existerar en bekymmer såsom handlar ifall för att subtrahera?. Denna typ från ämnen blir dock allt vanligare mot slutet från inledande terminen.

Då syns även förändringar inom elevernas deltagande, vid således vis för att eleverna börjar motivera sina lösningsstrategier matematiskt. dem börjar då även ställa ämnen angående samt efterfråga motiveringar från andra elevers lösningar.

Mot slutet från inledande terminen börjar läraren även nyttja enstaka fräsch typ från problem att diskutera, därför kallade teoriorienterade ämnen (McCrone, ).

Läraren är kapabel be eleverna beakta enstaka situation alternativt en term liksom relaterar mot något man tidigare samtalat om, dock ännu ej utforskat, genom för att exempelvis ställa frågan Hur vet ni då ni besitter en mönster? idag syns ett ökad vilja bland eleverna för att förklara samt motivera sina lösningar, för att tänka ovan samt bemöta andra elevers idéer samt för att utforska nya matematiska situationer.

Att ta en steg åter samt ge stöd nära behov

Vi bör avslutningsvis uppehålla oss nära den från nyckelfaktorerna inom studien från Hufferd-Ackles samt kollegor liksom handlar angående för att ta ansvar till lärandet.

inom ett process mot utforskande diskussion tar alltså eleverna allt större ansvar till för att själva utföra sig förstådda samt på grund av för att förstå klasskamraternas resonemang. Läraren hjälper mot samt ger stöd nära behov. Detta existerar ett förändring vilket även beskrivs inom McCrones forskning. Förändringen innebär för att läraren efter grabb tar några steg tillbaka.

detta existerar ej längre lika vanligt för att läraren ger stöd samt exemplifierar tillsammans med lämpliga lösningsstrategier på grund av eleverna. inom stället försöker läraren underlätta elevernas diskussioner genom för att tolka deras lösningar samt uppmuntra eleverna för att bemöta varandras idéer. Detta illustreras inom fetstil inom utdraget nedan.

Utdraget visar även för att eleverna tar ansvar på grund av för att utforska egna samt andras idéer. dem uttrycker sina idéer, jämför lösningsmetoder samt strävar sig till för att förstå andras idéer.

Den arbetsuppgift såsom studenter samt pedagog samtalar om inom McCrones undersökning existerar enstaka sålunda kallad magisk cirkel. oss redogör ej denna närmare eftersom oss bedömer för att detta ej behövs till för att elevernas engagemang inom varandras idéer samt lärarens sätt för att underlätta resonemanget bör framgå.

Kenny: Hm … oss besitter dem sju cirklarna på denna plats … samt summan bör bli 12, vilket existerar en jämnt anförande.

därför jag tror för att man måste sätta en jämnt anförande [i mittencirkeln]. dock ifall man önskar ett fåtal 11 alternativt något annat, typ 13, då tror jag för att man borde sätta en ojämt anförande inom mitten.

Margaret: detta plats vilket jag tänkte.

Läraren: Bara till för att artikel trygg vid för att samtliga hänger tillsammans … därför ni säger Kenny, för att då summan existerar en jämnt anförande …

Kenny: ifall summan existerar en jämnt anförande därför måste man sätta en jämnt anförande inom mittencirkeln, på denna plats.

dock ifall summan existerar en ojämt anförande såsom 13 därför måste man äga en ojämt anförande inom mitten.

Läraren: Vill någon svara vid detta genom för att titta vid exemplen vilket står vid tavlan? Margaret?

Margaret: detta Kenny sade existerar logiskt dock hm …. dock detta var exemplet, Lisas svar (på problemet tillsammans fem cirklar) existerar 8, samt hennes anförande inom mitten existerar 1.

Läraren: Okej.

denna provar Kennys teori … denna önskar för att oss tittar vid Lisas.

Nikki: detta existerar identisk sak då summan blir tiotal. [Pekar vid för att exemplet tillsammans fem cirklar vilket resulterade inom summan från 10 även ägde en ojämt anförande inom mitten.]

Kenny: Joo, jag såg summan från 10 samt tänkte för att, alltså 10 förmå artikel både jämnt samt ojämt eftersom ni förmå att nå ett mål eller resultat detta tillsammans med både femmor alternativt tvåor.

dock jag tittade ej vid Lisas exempel.

Läraren: Kan oss vandra tillbaka mot vad ni just sade, för att 10 kunna existera både en jämnt samt ojämt tal?

(McCrone, , s. )

Detta segment avslutas tillsammans ett fullständig återgivning från Hufferd-Ackles samt kollegors schematiska redogörelse från lärarens samt elevernas förändrade roller inom förhållande mot dem fyra nyckelfaktorerna.

Förändringen ovan tidsperiod beskrivs inom olika nivåer (0–3) inom riktning mot utforskande konversation. Beskrivningen ger enstaka klar bild från för att lärares samt elevers beteende förändras sidled, något vilket betonar lärarens innebörd till elevers deltagande inom utforskande diskussion. till ytterligare påverkan likt beskriver pedagog samt elevers parallella förändringar, titta Hunter () samt Baxter samt kollegor ().

Tabell 1.

Nivåer inom lärares samt elevers förändrade roller nära utvecklingen mot utforskande konversation (Hufferd-Ackles , , s. 88–90).

Vem ställer frågorna samt vilka ämnen ställs? – förändring ifrån för att läraren existerar den liksom ställer ämnen mot för att eleverna ställer frågor
Nivåer	Lärare	Elev
Nivå 0	Läraren existerar den enda likt ställer ämnen. flera korta ämnen till för att eleverna bör gå vidare lyssna vid läraren.	Eleverna ger korta svar vid lärarens problem att diskutera. Inga matematiska konversation mellan eleverna.
Nivå 1	Läraren börjar fokusera mer vid elevers tänkande samt mindre vid deras svar. Läraren ställer uppföljande ämnen angående elevers metoder samt svar. Läraren existerar ännu den enda liksom ställer frågor.	När enstaka skola svarar vid enstaka fråga lyssnar dem andra eleverna passivt alternativt avvaktar vid sin tur.
Nivå 2	Läraren fortsätter för att ställa utforskande problem att diskutera samt ställer även fler öppna problem att diskutera. Läraren underlättar även samtalen mellan eleverna genom för att exempelvis be eleverna förbereda sig vid för att ställa problem att diskutera angående andra elevers arbeten.	Eleverna ställer problem att diskutera ifall andra elevers arbeten såsom redovisas vid tavlan, ofta vid lärarens uppmaning. Eleverna lyssnar vid varandra sålunda för att dem ej upprepar frågor.
Nivå 3	Läraren förväntar sig för att eleverna ställer problem att diskutera mot varandra angående deras arbeten. Lärarens ämnen är kapabel kvar guida samtalen.	Samtal mellan eleverna existerar elevinitierade samt ej beroende från läraren. De ger alla elever möjlighet att utveckla sin matematiska förmåga på sin nivå Eleverna ställer ämnen samt lyssnar vid svar. flera ämnen existerar varför- ämnen likt kräver motivering från den likt svarar. Eleverna repeterar sina egna alternativt andras ämnen tills dem existerar nöjda tillsammans med svaren.

Förklara hur man tänker – förändring mot för att eleverna allt oftare redogör samt motiverar sina matematiska idéer
Nivåer (beskriver utvecklingen ovan tid)	Lärare	Elev
Nivå 0	Inga alternativt erhålla lärarhandlingar till för att locka eleverna mot för att dela tillsammans med sig från sitt tänkande, sina strategier alternativt förklaringar; läraren förväntar sig svarsfokuserad respons ifrån eleverna.	Inga förklaringar från detta egna tänkandet alternativt från strategier. Eleverna svarar bara vid lärarens frågor.
Nivå 1	Läraren utforskar elevers tänkande mot viss sektion. ett alternativt numeriskt värde strategier lockas fram. Läraren fyller år ibland egen inom förklaringarna.	Eleverna delar tillsammans med sig från sitt matematiska tänkande, vanligen då detta efterfrågas från läraren, ett fåtal såsom utför detta vid eget initiativ. dem ger korta beskrivningar från sitt tänkande
Nivå 2	Läraren utforskar mer intensiv inom avsikt för att lära sig angående elevernas tänkande samt ger stöd på grund av detaljerade beskrivningar från eleverna. Läraren öppnar till samt lockar fram flera olika strategier.	Eleverna ger vanligen upplysning då detta efterfrågas från läraren, tillsammans med vissa inslag från egna initiativ. dem börjar ta ställning samt ge formulering till mer kunskap liksom svar vid lärarens uppmuntran. dem redogör olika steg inom sitt tänkande genom för att ge fylligare beskrivningar samt dem börjar försvara sina metoder samt svar. andra studenter lyssnar stödjande.
Nivå 3	Läraren lyssnar noga vid elevernas beskrivningar från sitt tänkande samt uppmuntrar eleverna för att utföra sina förklaringar mer fullständiga, bland annat genom för att ställa utforskande problem att diskutera. Läraren stimulerar eleverna för att tänka grundlig angående strategier.	Eleverna beskriver mer kompletta strategier; dem försvarar samt motiverar sina svar, tillsammans med endast lite uppmaning ifrån läraren. Eleverna inser för att dem kommer för att behöva svara vid problem att diskutera ifrån andra studenter då dem existerar klara, sålunda dem existerar motiverade samt ta hand om ifall för att existera grundliga. andra studenter ger stöd genom aktivt lyssnande.

Källan mot matematiska idéer – förändring ifrån läraren vilket källa mot varenda matematiska idéer mot för att elevernas idéer även påverkar riktningen vid lektionen
Nivåer	Lärare	Elev
Nivå 0	Läraren står nära tavlan, vanligen tillsammans enstaka skrivdon inom handen samt berättar samt redogör till eleverna hur dem bör göra.	Eleverna svarar vid den matematik läraren visar upp. dem bidrar ej tillsammans med egna matematiska idéer.
Nivå 1	Läraren existerar ännu den primära källan mot idéer, även angående läraren även lockar fram egna idéer hos eleverna.	Några från elevernas idéer tas upp inom diskussionen, dock dem utforskas inte.
Nivå 2	Läraren följer upp förklaringar samt bygger vidare vid dem genom för att be eleverna för att jämföra samt kontrastera. Läraren existerar bekväm tillsammans för att nyttja elevers felsvar likt möjligheter mot lärande.	Eleverna visar självförtroende då detta gäller deras egna idéer samt delar sitt tänkande samt sina strategier, även angående dem skiljer sig ifrån andra elevers idéer. Elevernas idéer styr ibland riktningen vid matematiklektionen.
Nivå 3	Läraren tillåter för att hens förklaring avbryts från eleverna. Eleverna får förklara samt äga nya strategier även ifall läraren ännu existerar engagerad samt avgör vad liksom existerar viktigt för att gå vidare utforska. Läraren använder elevers idéer samt metoder liksom bas till lektionen alternativt på grund av för att utföra miniutvikningar.	Eleverna skjuter in idéer då läraren undervisar alternativt andra studenter pratar, säkra vid för att deras idéer existerar viktiga. Eleverna jämför, kontrasterar samt bygger vidare vid andras idéer spontant. Elevers idéer formar delar från innehållet inom flera matematiklektioner.

Lärarhandlingar tillsammans med utforskande diskussion likt mål

I förra avsnittet berörde oss lärarens roll inom utforskande konversation inom matematikklassrummet. oss beskrev vad liksom karakteriserar den denna plats typen från diskussion inom relation mot andra typer, dvs.

disputerande diskussion, kumulativa konversation samt IRE-modellen. Likaså belystes beskrivningar från lärares samt elevers parallella tillväxt mot utforskande konversation samt lärarens innebörd på grund av hur samtalen gestaltar sig. inom detta segment kommer oss för att vandra närmare in vid specifika lärarhandlingar liksom beskrivs inom studierna – lärarhandlingar liksom besitter liksom uppgift för att bidra mot för att samtalen inom matematikklassrummet blir mer utforskande.

tillsammans med lärarhandling avser oss något liksom läraren fullfölja alternativt säger.

Vi börjar tillsammans en del ifall dem lärarhandlingar likt syftar mot för att ett fåtal eleverna för att ovan skalle taget delta aktivt inom gemensamma resonemang. detta handlar inom mångt samt många ifall handlingar likt syftar mot för att etablera gynnsamma sociala normer inom klassrummet samt liksom sängar på grund av utforskande samtal.

Det efterföljande avsnittet handlar ifall lärarhandlingar liksom syftar mot för att ett fåtal elevernas gemensamma resonemang för att handla ifall matematik.

inom dem utvalda studierna framgår nämligen för att studenter många väl kunna delta inom gemensamma resonemang inom matematikundervisningen, utan för att samtalen faktiskt rör själva matematiken vid en djupare strategi. Detta sker mot modell då eleverna enbart besitter fokus vid procedurella aspekter inom sina resonemang.

Forskningen ger inga enkla svar

Vi önskar ursprunglig betona för att forskningen ej kunna tillhandahålla några enkla svar vid vilka lärarhandlingar vilket bidrar mot för att eleverna engagerar sig inom utforskande diskussion.

från studierna framgår snarast för att detta ej existerar möjligt för att anlända tillsammans med enkla anvisningar liksom fungerar oavsett kontext. Fenomenet klassrumsdialog existerar alltför komplext. Cengiz samt kollegor () uttrycker detta sålunda här:

The findings on instructional actions provide further bevis of the complexity of the work of extending lärling thinking.

While having a list of instructional actions as potential steps to take could be helpful, a recipe for which actions to take and what beställning of actions to follow at any given moment during a whole-group discussion does not exist. In fact, this study demonstrates how some actions could be ganska effective in some cases and not effective in others (Cengiz , , s. ).

En papper är kapabel alltså, i enlighet med Cengiz samt kollegor, existera produktiv inom en kontext dock ej inom en annat.

inom identisk undersökning konstateras dessutom för att ett elevs engagemang inom utforskande konversation kunna föregås från ett kombination från flera olika slags handlingar.

Komplexiteten hos utforskande diskussion understryks även från Franke samt kollegor (), likt äger studerat relationen mellan lärarhandlingar samt elevengagemang. Forskarna identifierar en antal lärarhandlingar såsom syftar mot för att erhålla eleverna för att engagera sig inom andra elevers idéer.

Handlingarna existerar från olika stöt, såsom för att läraren ber eleverna förklara någon ytterligare elevs svar alternativt jämföra flera elevers olika lösningar. Studien ger emellertid inget stöd på grund av en samband mellan någon bestämd typ från lärarhandling samt elevernas engagemang inom andra elevers idéer. Studien visar dessutom för att detta finns flera olika skäl mot för att studenter ej engagerar sig inom andra elevers idéer, samt för att eleverna därför förmå behöva olika typer från stöd.

enstaka skola är kapabel exempelvis behöva stöd till för att titta hur den egna förklaringen förhåller sig mot enstaka ytterligare elevs förklaring, medan ett ytterligare skola snarast är kapabel behöva stöd till för att förbättra sitt engagemang inom andra elevers förklaringar.

Ayalon samt Even () slutligen, visar för att elevers möjligheter mot deltagande inom utforskande konversation existerar beroende från en komplext samspel mellan detta läraren fullfölja, matematikinnehållet samt klassen.

dem konstaterar följande:

For research aiming to learn about ‘good’ pedagogical models for encouraging argumentation, the findings from this study suggest that a teacher approach that might be considered good in one class fryst vatten not necessarily good in another (Ayalon & Even, , s. ).

Komplexiteten inom klassrumsdialoger mot trots, sålunda ger dem utvalda studierna användbar förståelse ifall både lärarhandlingar tillsammans med potential för att engagera eleverna inom utforskande konversation samt vid vilket sätt dessa handlingar äger innebörd till elevers engagemang.

Att producera en utforskande klassrumsklimat

Elevers deltagande inom utforskande diskussion skiljer sig såsom oss tidigare beskrivit ifrån deltagande inom diskussion i enlighet med IRE-modellen⁴.

detta handlar inom detta utforskande samtalet ej främst angående för att försöka svara korrekt vid lärarens problem att diskutera, utan angående för att bidra tillsammans med egna idéer, motivera dem samt för att egen ställa ämnen. studenter förväntas alltså bete sig vid en annat sätt, alternativt speciell uttryckt: dem sociala normerna till elevers deltagande inom utforskande konversation skiljer sig ifrån dem såsom gäller nära IRE (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ; äkta par, Bakker, & Ben-Zvi, ).

Normer är kapabel sägas existera gemensamma förväntningar vid beteendet inom enstaka viss social situation, ett struktur från sociala spelregler. dem existerar ofta outtalade samt osynliga, åtminstone tills dem förändras alternativt bryts.

^{4IRE = initiering, respons samt evaluering}

Exemplifiera, förstärka samt omformulera

Det lärarna inom studierna utför på grund av för att etablera normer såsom lägger bas till utforskande konversation existerar för att vid olika sätt synliggöra vad likt existerar önskvärda beteenden inom matematikklassrummet, likt mot modell för att lyssna aktivt (Hunter, ; äkta par , ).⁵ Detta utför dem vid flera olika sätt, bland annat genom för att ge modell vid önskvärda beteenden, förstärka elevbeteenden såsom existerar inom linje tillsammans dem förväntade, alternativt omformulera elevernas beskrivningar från vad dem utför därför för att dem normer läraren önskar etablera tydliggörs.

⁵ Aktivt lyssnande = för att engagera sig inom samt försöka förstå detta personen säger.

Att detta klart framgår hur eleverna förväntas bete sig förmå underlätta deras deltagande inom gemensamma resonemang.

Uttalade förväntningar är kapabel legitimera beteenden liksom eleverna annars skulle uppleva sig obekväma tillsammans, mot modell för att ifrågasätta någon annans koncept samt be denne för att motivera sitt påstående. dem är kapabel även stödja eleverna sålunda för att dem vågar dela tillsammans med sig från sina egna ibland ofullständiga idéer.

vid således vis kunna läraren – genom för att artikel klar tillsammans vad såsom gäller inom utforskande diskussion – stödja studenter liksom från olika skäl känner motstånd mot för att delta (Parks, ).

I ett från studierna följs enstaka pedagog liksom tillsammans tillsammans med ett vetenskapsman arbetar på grund av för att etablera normer på grund av utforskande konversation inom matematikklassrummet (Hunter, ).

inom studien beskrivs vilket läraren utför på grund av för att erhålla mot stånd ett förändring från rådande sociala normer, samt hur samtalen förändras beneath enstaka tremånadersperiod. Eleverna samtalar om inledningsvis ej sålunda många, varken inom helklass alternativt inom samling. inom dem fall dem uttrycker sina idéer existerar dem mer inriktade vid för att försvara dem än för att samarbeta samt försöka producera enstaka gemensam medvetande.

dem till alltså enstaka form eller gestalt från disputerande konversation. likt en inledande steg mot förändring från samtalen försöker läraren erhålla eleverna för att resonera tillsammans inom mindre grupper. Läraren ger eleverna inom övning för att tillsammans producera ett matematisk förklaring likt samtliga inom gruppen förstår samt är kapabel förklara.

dem uppmanas ursprunglig för att diskutera sina lösningsförslag inom gruppen. Läraren ger modell vid hur dem är kapabel agera.

Läraren: Ni måste hjälpas åt samt ni måste förstå, samtliga inom gruppen behöver förstå strategin. detta duger ej angående detta bara existerar ett individ … ni måste försöka hjälpa resten från gruppen för att förstå det.

Ruby: Man måste fråga angående man ej förstår.

Läraren: noggrann, sitt ej bara var samt hoppas vid för att andra bör förklara på grund av dig.

ni måste egen ställa frågor.

(Hunter, , s. )

Läraren betonar för att aktivt lyssnande existerar viktigt genom för att förklara vilket detta innebär: Er övning existerar för att verkligen tänka vid vilket andra studenter säger samt reflektera ovan angående ni håller tillsammans med alternativt inte.

Läraren förstärker även dem elevbeteenden vilket ligger inom linje tillsammans dem normer vilket denna önskar etablera (Hunter, ), mot modell då denna uppmärksammar övriga studenter vid enstaka student, Josies, beteende, samt lyfter fram detta positiva inom för att ta ansvar såsom grupp: tackar Josie till för att ni hjälper mot för att förklara.

Ser ni vad denna gjorde? detta existerar vilket jag menar, ta hjälp samt stöd ifrån gruppen.

Studien visar hur elevernas samtalsmönster successivt förändras (Hunter, ). Den inledande förändringen innebär bland annat för att disputerande konversation blir mindre vanliga. kvar tenderar eleverna dock för att okritiskt acceptera varandras resonemang.

Eleverna till alltså ett form eller gestalt från kumulativa konversation, exempelvis ber dem ej sina klasskamrater för att motivera samt argumentera till sina idéer. detta illustreras inom nästa modell var eleverna Heath samt Sangeeta föreslår olika strategier till för att åtgärda uppgiften, dock var skillnader samt likheter mellan strategierna ej utforskas.

Elever besitter fått mot arbetsuppgift för att räkna ut hur många dem måste spara till för att köpa enstaka t-shirt likt kostar 17 dollar.

dem besitter redan nio dollar.

Heath: eftersom detta existerar nio därför förmå ni bara addera upp mot tio, samt sen måste ni lägga mot sju samt således tar ni försvunnen en igen samt plussar vid den vid sju således för att ni får åtta.

Sangeeta: en annat sätt ni förmå utföra detta vid existerar … ni kunna dra försvunnen en ifrån sju samt lägga mot samt vid sålunda sätt sålunda får ni tio, en tiotal, samt sen …

Ruby: samt vid således sätt ser ni hur många liksom behövs på grund av för att ett fåtal sjutton.

(Hunter, , s.

)

För för att erhålla eleverna för att bedömande undersöka varandras resonemang ger läraren modell vid vad eleverna förmå yttra då dem ej håller tillsammans ifall enstaka förklaring likt ges från enstaka ytterligare elev.

Lärare: vad sker angående ni ej kommer överens?

Mike: ifall oss ej kommer överens sålunda fråga varför … varför gjorde ni sålunda där?

Lärare: Ni är kapabel säga: Jag existerar ej trygg vid detta var, jag existerar ej övertygad ifall den var delen.

är kapabel ni övertyga mig?

(Hunter, , s. )

Ett dialogutdrag ifrån slutet från tremånadersperioden illustrerar hur samtalen förändrats således för att eleverna för tillfället ej bara accepterar andra elevers påståenden, utan även ber dem motivera dem (Hunter, ). Eleverna inom exemplet samtalar om enstaka övning liksom handlar ifall för att hitta en mönster inom antalet personer såsom är kapabel sitta nära en möbel, då en, tre alternativt fem matbord läggs mot.

Notera Josies krav vid argument på grund av den svar Heath föreslår.

Heath: ni lägger mot tre mot varenda matbord samt sen gäller detta för att plussa vid två.

Josie: Varför existerar detta ej fem plus fem?

En ytterligare skola [Matthew] engagerar sig för tillfället till för att gemensamt förbättra förklaringen samt motivera den.
Öppna uppgifter kan erbjuda en sådan möjlighet
Josie fortsätter för att efterfråga motivering.

Matthew: [pekar vid modellen] eftersom ni ej kunna sätta någon var. Josie: dock varenda arbetsyta bör behärska ta fem personer.

Heath: Ja, dock nära en arbetsyta existerar detta fem, detta börjar tillsammans fem samt sen får man …

Hayden: ni förmå ju ej sätta någon mitt inom bordet.

dem förmå ej sitta på denna plats [pekar vid mitten från modellen] eftersom dem skulle sitta vid bordet … dem vid kanten måste ständigt flytta ut.

(Hunter, , s. )

Även ett ytterligare forskning beskriver hur läraren utför till för att etablera normer på grund av utforskande konversation inom enstaka klass, samt hur samtalen förändras ovan period (Makar , ).

Studien pågår beneath en halvår. Läraren fokuserar vid för att etablera normer likt innebär för att eleverna

lyssnar aktivt
motiverar samt redogör till sina klasskamrater
tar lärda risker, mot modell delar tillsammans sig från ofullständiga idéer
bygger vid varandras idéer.

En plan liksom läraren inom studien använder existerar för att notera upp vad såsom karakteriserar den typ från gemensamma resonemang likt denna önskar äga inom sitt undervisningsrum vid affischer vilket sedan sätts upp inom klassrummet.

enstaka från affischerna anger lärarens förväntningar vid elevernas roller inom dem gemensamma resonemangen:

Aktiva lyssnare (reflektera ovan andras idéer)
Tydliga talare liksom går för att höra
Aktiva deltagare (att studenter bidrar)

En ytterligare plakat anger lärarens förväntningar vid elevernas samarbete:

Det existerar möjligt för att nyttja mer än ett teknik samt ändå nå enstaka konklusion
Alla idéer samt åsikter existerar viktiga
Alla förväntas tänka
Idéer ifrågasätts alternativt utmanas respektfullt
(Makar , , s.

)

Läraren refererar då samt då mot detta liksom står vid affischerna på grund av för att förstärka elevers beteenden. inom enstaka samtal talar läraren angående detta: Förstärka, bekräfta samt bedöma … då ni faktiskt ser bevis vid detta – angående ni önskar äga enstaka sådan klassrumskultur, därför belönar ni detta [beteendet].

Vi bör ge numeriskt värde modell vid elevdialoger ifrån inledningen från identisk forskning (Makar , ).

dem illustrerar för att enstaka sektion studenter agerar i enlighet med dem normer liksom läraren avser för att etablera, samt andra ej. detta inledande exemplet existerar enstaka dialog mellan Bill samt Chloe, vilka resonerar i enlighet med normen förklara samt motivera påståenden. Bill motiverar inledningsvis sin förklaring samt Chloe kunde äga nöjt sig tillsammans för att hålla tillsammans, dock denna uppmanar Bill för att motivera sin förklaring ytterligare.

då Bill ej fullfölja detta därför redogör samt motiverar denna sitt svar.

Bill: Gräshoppan vann eftersom ett tredjedel existerar mer samt större än enstaka fjärdedel.

Chloe: [riktar sig mot Bill] Kan ni bevisa det? [Bill tvekar därför Chloe börjar.] Okej, jag skrev för att ett tredjedel existerar större än ett fjärdedel.
De lär av varandra, dels under det laborativa arbetet, men framför
Jag ritade ett foto samt sen [hon pekar vid sin teckning] var existerar detta ett fjärdedel, den existerar mindre eftersom den ej existerar lika massiv. Sen skrev jag vid tallinjen , samt jag ritade även enstaka [bråk] skiljevägg …

Bill: detta existerar god, god. Jag måste notera från några idéer.

(Makar , , s.

)

Det andra exemplet visar för att normerna ej anammats från varenda studenter inom klassen. Shane agerar i enlighet med normen för att förklara sitt svar, dock hans mening ”så plats oss klara” antyder för att denne ej existerar intresserad från för att lyssna Ellas förklaring.

Shane: Sen skrev jag för att gräshoppan hoppar enstaka tredjedel varenda gång därför den behöver bara hoppa 12 gånger.

Skalbaggen måste hoppa 15 gånger (sic) samt sen ritade jag gräshoppan samt hur den besitter, hmm, tre fjärdedelar, jag menar tre tredjedelar. samt sen skalbaggen. Jag skrev för att den ägde ett fjärdedel.

Ella: Jag gillar verkligen …

Shane: [avbryter] – samt således skrev jag för att gräshoppan skulle vinna. Ella: Jag gillar verkligen all resultat ni ger.

Shane: Mmm, samt sålunda plats oss klara!

(Makar , , s.

)

Läraren inom studien rör sig mellan elevgrupperna samt ger stöd nära behov. Ibland påminner denna eleverna ifall för att varenda inom gruppen förväntas bidra. från studien framgår för att förändringen från normer tar period samt kräver kontinuerligt stöd, eleverna behöver ständigt påminnas ifall förväntningarna vid deras deltagande.

Från identisk lärande får oss även modell vid hur pedagog genom uttalade förväntningar vid elevers beteenden legitimerar samt stödjer beteenden vilket studenter annars förmå uppleva sig obekväma tillsammans med (Makar , ).

detta handlar bland annat angående för att eleverna förväntas be sina klasskamrater motivera sina påstående alternativt lösningsstrategier, vilket ej existerar en typiskt beteende inom matematikklassrum. Läraren exemplifierar förväntade beteenden genom för att formulera en antal problem att diskutera vilket eleverna förmå ställa mot varandra:

Tänkte ni vid …?
Jag håller med/håller ej med.
Bygg vidare vid denna idé.
Berätta mer angående …
Kan ni bevisa detta till oss?
Dina bevis …
Vad övertygade dig ifall för att detta plats svaret?
(Makar , , s.

)

Dessa problem att diskutera samt påståenden skrivs ner vid en ark likt klistras in inom elevernas skrivböcker. Läraren refererar sedan mot dem nära flera tillfällen beneath arbetets gång. Forskarna konstaterar för att elevernas försök för att nyttja dessa inledningsvis existerar lite trevande samt stela, dock frågorna samt påståendena ändå tjänar viktiga syften: dem talar ifall på grund av eleverna då samt hur dem förmå bidra mot dem gemensamma resonemangen.

vid därför vis 1) får eleverna hjälp för att komma igång tillsammans med för att samtala, 2) legitimerar dem elevernas, respektfulla, ifrågasättande från klasskamraternas idéer, samt 3) etablerar dem enstaka förväntan samt därmed enstaka acceptans hos eleverna för att själva ett fåtal sina idéer ifrågasatta.

Hittills besitter oss gett modell vid hur läraren är kapabel synliggöra önskvärda beteenden genom för att exemplifiera samt förstärka beteenden.

ett ytterligare plan tillsammans identisk avsikt existerar för att läraren omformulerar elevernas beskrivningar från enstaka dialogsituation (Makar , ). inom nedanstående extrakt ber läraren ett skola, Bill, förklara hur han samt hans klasskamrat gick tillväga inom deras gemensamma resonemang. denna omformulerar sedan Bills presentation samt benämner detta aktivt lyssnande.

Lärarens omformulering syftar mot för att förbättra samt utveckla elevens förmåga för att förklara dem normer läraren försöker etablera inom klassrummet.

Läraren: inom ljus fanns detta numeriskt värde alternativt tre grupper såsom gjorde en utmärkt arbete inom gemensamma resonemang. därför grattis mot dessa sex personer.

inom själva verket fanns detta något Bill gjorde [vänder sig mot Bill], skulle ni behärska dela tillsammans dig mot varenda. vad gjorde ni samt din kamrat beneath dem gemensamma samtalen?

Bill: oss satt bredvid varandra samt hm, detta ger dig ett förbättrad koncept ifall vad detta handlar om.

Läraren: Ja, således dem delade tillsammans sig.

inom stället till för att Bill sitter mittemot sin partner således satt dem blad nära blad … således då Jonah läste kunde Bill lyssna vad han sade, samt han kunde även titta vilket denne sade. därför denne lyssnade aktivt, denne tog varenda situation inom akt för att ifrågasätta vilket Jonah sade samt fanns enstaka energisk deltagare.

(Makar , , s.

)

Som tidigare beskrivits således innebär deltagande inom utforskande konversation för att eleverna delar tillsammans med sig från sina idéer, även ofullständiga. Eleverna är kapabel vid således vis bygga vidare vid varan dras idéer, samt eventuellt felaktiga lösningar kunna fördjupa dem gemensamma matematiska resonemangen (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ).

för att dela tillsammans sig från idéer likt man ej känner sig riktigt trygg vid existerar dock ett struktur från intellektuellt risktagande samt något studenter förmå tveka inför. Detta visar sig även inom studien närmast ovan, var eleverna efter flera månaders sysselsättning ännu kämpar tillsammans med dem normer likt handlar angående för att dela tillsammans med sig från sina ibland ofullständiga idéer (Makar , ).

Följande extrakt illustrerar lärarens sysselsättning tillsammans med för att förbättra normer till för att dela tillsammans sig från sina idéer samt bygga vidare vid dem (Makar , ).

Eleverna äger fått mot övning för att reflektera ut den bästa vägen till ett vandrande skolbuss. enstaka vandrande skolbuss innebär för att små människor går tillsammans tillsammans med sina kompisar mot skolan, beneath uppsyn från enstaka myndig. Läraren använder enstaka elevs, Chloes, förslag vilket utgångspunkt på grund av diskussionen samt illustrerar inom sitt sätt för att leda diskussionen hur man är kapabel bygga vid varandras idéer.

Chloe äger inom sitt förslag delat in eleverna inom numeriskt värde grupper: dem liksom bor mindre än fem kilometer ifrån skolan samt dem liksom bor längre försvunnen ifrån skolan än fem kilometer. Läraren frågar läka klassen ifall denna plan förmå ge svaret vid frågan.

Lärare: Vilket existerar detta typiska avståndet ifrån skolan likt studenter [i denna klass] bor på?

angående oss tittar vid hur Chloe äger strukturerat våra information, är kapabel oss då svara vid frågan?

Chloe ser dock egen en bekymmer tillsammans strategin. ett ytterligare student, Jinny, föreslår för att dem delar in eleverna inom mindre grupper.

Chloe: Ja.

[paus] ej precis.

Lärare: angående jag frågar människor hur långt ifrån skolan dem bor, vad förmå jag förvänta mig för att ett fåtal till svar efter vad oss besitter sett här?

Jinny: oss möjligen kunna utföra grupper på grund av varenda meter. angående oss besitter samtliga tillsammans sålunda blir detta svårare för att organisera.

Läraren lyfter då upp Jinnys förslag samt ber övriga studenter tänka ovan det.

Läraren: (…) dock Jinny säger för att oss förmå ge en förbättrad svar.

Jinny önskar för att oss utför svaret förbättrad genom för att utföra vad?

(Makar , , s–)

Läraren använder alltså Chloes samt Jinnys förslag samt ber klassen bygga vidare vid dem (Makar , ). Eleverna uppmanas för att tänka ovan dem olika förslagen samt motivera sina idéer. Forskarna menar för att läraren vid således vis värdesätter Chloes samt Jinnys bidrag samt skapar ett miljö var eleverna uppmuntras för att resonera utan för att bekymra sig angående om deras svar existerar riktig alternativt fel.

Denna inbjudan mot för att tänka högt uppmuntrar eleverna för att våga dela tillsammans sig även från ofullständiga idéer.

Avslutningsvis, ett forskning såsom visar hur läraren får eleverna för att delta aktivt inom utforskande diskussion genom enstaka form eller gestalt från rollövning (Elbers, ). Läraren ger eleverna samt sig egen rollen såsom vetenskapsman.

varenda undervisning inleds tillsammans med lärarens uppmaning: oss existerar vetenskapsman. Låt oss forska! Rollen liksom vetenskapsman innebär till eleverna för att dem får ansvar till för att åtgärda uppgifterna tillsammans; dem är kapabel ej förlita sig vid läraren. Eleverna uppmuntras för att ställa ämnen samt samarbeta till för att hitta svar vid dem.

Detta rollövning utför, i enlighet med forskarna, för att eleverna utvecklar nya samtalsmönster. Eleverna föreslår nya idéer samt utforskar samt utvärderar dem vid en sätt såsom utför för att flera studenter är kapabel såväl bidra såsom tillägna sig detta liksom andra studenter redan besitter upptäckt.

Lektionen likt redovisas inom studien existerar enstaka från flera därför kallade experimentlektioner vilket utformas inom samarbete mellan ett pedagog samt vetenskapsman (Elbers, ).

Den genomförs ett gång inom veckan beneath enstaka fyramånadersperiod, inom ramen till enstaka annars traditionell under visning. Forskarna menar för att övergången ifrån detta bekanta undervisningssammanhanget mot denna nya situation – var dem förväntades existera vetenskapsman – innebar ett viss insats till eleverna. dem beskriver för att detta fanns många identitetsrelaterade diskussion bland eleverna angående deras nya ansvar liksom medlemmar inom ett undersökande gemenskap.

Att producera förutsättningar till diskussion vilket rör själva matematiken

Utforskande diskussion innebär, såsom oss äger konstaterat tidigare, bland annat för att eleverna redogör samt jämför olika matematiska lösningar.

dock några från studierna likt ingår inom översikten visar för att detta existerar möjligt på grund av studenter för att utföra detta utan för att dem till den skull faktiskt samtalar om matematik (Kazemi & Stipek, ; McCrone, ). dem förmå mot modell förklara hur dem gick mot väga, steg till steg, då dem löste enstaka övning, samt vid sålunda vis förklara samt jämföra sina respektive lösningar.

dock därför länge fokus existerar vid dem procedurella aspekterna tas ej tillfället inom akt för att diskutera matematiskt vid en djupare plan.

Kazemi samt Stipek () jämför dialogerna inom fyra olika matematikklassrum. dem konstaterar för att inom samtliga klassrummen tycks liknande normer råda likt existerar utmärkande på grund av utforskande samtal: eleverna redogör samt delar lösningsstrategier, elevers felsvar accepteras liksom ett sektion från praktiken, eleverna samarbetar, samt arbetet leds från enstaka positivt stödjande pedagog.

dock närmare analyser visar viktiga skillnader inom kvaliteten vid samtalen inom dem olika klassrummen. inom samtliga undervisningsrum förs visserligen gemensamma resonemang, dock dessa resonemang rör ej ständigt själva matematiken. inom dem undervisningsrum var resonemangen faktiskt utför detta råder – utöver gynnsamma sociala normer – vissa sociomatematiska normer.

Kazemi samt Stipek () menar för att dem sociala normer vilket tidigare besitter beskrivits existerar nödvändiga, dock ej tillräckliga, till för att eleverna bör engagera sig inom matematiken vid en djupare strategi.

dem sociomatematiska normer såsom dem menar stödjer elevernas matematiska engagemang samt begreppsliga tillväxt är:

En förklaring består från en matematiskt argument, ej bara ett procedurell beskrivning.
Matematiskt tänkande innefattar för att förstå relationer mellan strategier.
Felsvar ger chans mot för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt utforska alternativa strategier.
Samarbete innefattar individuellt ansvar samt för att anlända överens genom matematisk argumentation.

(Kazemi & Stipek, , s)

I detta nästa beskriver oss specifika lärarhandlingar likt syftar mot för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken.

dem flesta resultaten vilket gäller dem handlingar likt syftar mot för att eleverna motiverar, jämför samt utvärderar olika matematiska idéer återfinns inom studierna från Cengiz samt kollegor () respektive Kazemi samt Stipek (). dem visar upp liknande utfall, dock använder olika term inom sina analyser från resultaten. Kazemi samt Stipek utgår framför allt ifrån dem sociomatematiska normer liksom råder då eleverna engageras inom matematiken, medan Cengiz samt kollegor utgår ifrån en annat term vilket dem introducerar, nämligen vidgande episoder (extending episodes).

Vidgande episoder avser tillfällen inom dialogerna såsom inbegriper den typ från matematisk reflektion samt matematiska resonemang såsom i enlighet med Cengiz samt kollegor förmå vidga elevernas matematiska förståelse.

Dessa term existerar kopplade mot varandra såtillvida för att man förmå yttra för att ovanstående sociomatematiska normer sängar på grund av vidgande episoder.

Forskarna inom dem båda studierna identifierar samt benämner lärarhandlingar liksom kunna bidra mot detta. detta rör sig angående lärarhandlingar likt syftar mot för att eleverna

motiverar, jämför samt utvärderar påståenden samt lösningsstrategier
tar ansvar på grund av all gruppens förståelse
når enighet genom argumentation
föreslår andra sätt för att tänka samt åtgärda problem
söker mönster till för att behärska generalisera.

Att ett fåtal eleverna för att motivera påståenden samt lösningsstrategier

En plan likt pedagog inom studierna använder på grund av för att rikta elevernas uppmärksamhet mot matematiken existerar för att be dem motivera dem matematiska idéer vilket eleverna själva, andra studenter alternativt läraren uttrycker.

modell vid ämnen såsom lärarna ställer är: vilket får dig för att yttra så?, Hur vet ni det? samt Varför antar ni det? (Cengiz , ).

Cengiz samt kollegor () visar mot modell hur enstaka pedagog tillsammans med upprepade varför-frågor får eleverna för att koppla samman en enskilt steg inom ett lösningsstrategi tillsammans detta matematiska problemets kontext samt innebörd.

Detta existerar alltså en modell vid detta liksom Cengiz samt kollegor kallar enstaka vidgande episod inom dialogen. Den arbetsuppgift samtalet handlar angående existerar följande:

I ett park fanns detta 69 duvor. då enstaka tamhund gick förbi sålunda flög 47 från duvorna iväg. Hur flera duvor plats sedan kvar inom parken?

(Cengiz , , s.

)

Eleverna löser inledningsvis uppgiften individuellt samt redovisar den sedan vid tavlan. Läraren noterar då dem olika lösningarna (Cengiz , ). Flera studenter löser uppgiften genom för att bara nyttja subtraktion: 69 – 40 = 29 samt 29 – 7 = Några studenter använder dock både subtraktion samt addition inom sina lösningar: 60 – 40 = 20, 9 – 7 = 2, 20 + 2 = för att en anförande såsom handlar ifall för att dra ifrån även är kapabel innehålla addition förmå upplevas motsägelsefullt på grund av studenter, samt detta önskar läraren ett fåtal eleverna för att resonera angående.

en indikator vid för att detta är kapabel existera svårt till studenter existerar för att några från dem eleverna inom klassen liksom använder den plan likt förutsätter addition inom detta sista steget ej adderar utan subtraherar även inom detta sista steget, samt då får detta felaktiga svaret arton.

I den efterföljande dialogen inom helklass önskar läraren erhålla eleverna för att motivera varför talen 20 samt 2 adderas snarare än subtraheras (Cengiz , ).

Läraren fokuserar vid vilket detta innebär för att förbättra en matematiskt argument på grund av ett lösningsstrategi. Läraren existerar ej tillfreds tillsammans med enstaka elevs argument: för att lösningsstrategin ej skulle ge korrekt svar (Marcus), utan fortsätter för att efterfråga argument på grund av för att addera 2 samt 20 genom för att ställa upprepade varför-frågor.

Läraren: Vem kunna informera till mig varför denne adderade inom stället till för att subtrahera?

Marcus: på grund av för att han ej ville ett fåtal fel svar?

Läraren: dock han kunde ej känna till, denne kunde ej känna till för att detta plats fel svar.

Elev: eftersom detta ej verkade rimligt?

Läraren: Varför verkade detta ej rimligt? vad existerar detta vilket ej existerar rimligt tillsammans med det? Pojkar samt flickor, jag önskar för att ni berättar på grund av mig varför han adderade.

Elev: eftersom dem existerar dem numeriskt värde svaren denne fick då denne drog ifrån.

Läraren: dock denne ägde kunnat yttra 20 minus 2 existerar lika tillsammans med detta skulle även existera dem numeriskt värde svaren samt han ägde subtraherat.

Jag önskar för att ni tittar vid vad Jenny gjorde. denna subtraherade tiotalen. alternativt hur? samt hur flera fick denna kvar?

Elev:

Läraren: Sedan subtraherade denna ettorna. Jenny, varför lade ni samman dessa?

Jenny: eftersom detta fanns dem siffror liksom fanns kvar.

(Cengiz , , s.

)

Som framgår inom utdraget avslutas dialogen utan för att detta sista steget inom lösningen motiveras mot fullkomligt. Cengiz samt kollegor menar dock för att dialogen ändå fyller år sitt avsikt, nämligen för att ett fåtal eleverna för att resonera matematiskt samt vid sålunda vis förbättra sin medvetande inom ämnet.

I dialogutdraget ovan ger sig ej läraren inom inledande taget.

för att läraren framhärdar inom sina uppmaningar mot eleverna för att motivera lösningar samt påståenden matematiskt lyfts fram vilket enstaka betydelsefull aspekt från lärarens agerande även inom Kazemi samt Stipeks undersökning (). detta ser oss inom en modell var eleverna äger mot övning för att dela fyra kakor mellan sex kråkor.

numeriskt värde studenter, Luis samt Chris, besitter delat tre från kakorna inom halvor samt den återstående kakan inom sex delar. varenda kråka får alltså 1/2 + 1/6 = ⁴/6 . inom inledande steget illustrerar eleverna sin svar tillsammans med tre kvadrater (kakor) vilket delas inom halvor samt ett liksom delas inom sjättedelar, samt inom nästa steg skuggar dem delar från numeriskt värde andra kvadrater vilket visar hur många bakelse varenda kråka får samt visar vid således vis för att 1/2 plus 1/6 existerar likvärdigt tillsammans ⁴/6 (Kazemi & Stipek, , s.

66).

Dialogen liksom sedan följer illustrerar den sociomatematiska normen en förklaring innefattar en matematiskt argument (Kazemi & Stipek, ). Eleverna existerar inledningsvis fokuserade vid procedurella aspekter, dock genom upprepade ämnen får läraren mot slut eleverna för att fokusera vid begreppet likvärdighet samt hur detta relaterar mot addition från bråktalen.

Läraren startar dialogen tillsammans för att inbjuda övriga studenter för att kommentera skissen.

ett skola startar tillsammans för att yttra för att skissen ger enstaka klar bild från detta Chris samt Luis önskar visa. Läraren nöjer sig ej tillsammans detta svaret, utan ber eleverna specificera vad elevernas skiss visar: vilket ville dem för att ni skulle se? identisk student svarar för att den visar hur Chris samt Luis adderade talen.

Läraren existerar kvar ej tillfreds samt ber eleverna mer särskilt fokusera dem delarna liksom existerar skuggade samt hur dem förhåller sig mot varandra. enstaka skola använder då detta matematiska begreppet likvärdighet till för att förklara vad skissen illustrerar.

Läraren: vilket förmå ni informera på grund av mig angående deras teckningar liksom bör visa för att 1/2 plus 1/6 existerar lika tillsammans med ⁴/6?

Sam: dem existerar väldigt tydliga, man förmå titta noggrann vad dem ville för att oss skulle se.

Läraren: Vad ville dem för att ni skulle se?

Sam: Hur dem adderade 1/2 samt 1/6.

Läraren: samt vad ser du angående additionen från 1/2 samt 1/6?

Carrie: dem skuggade dem.

Läraren: Okej, dem skuggade dem. vilket lägger ni symbol mot angående delarna vilket existerar skuggade? 1/2 plus 1/6 samt ⁴/6? Ser ni något? Nej [väntar.] Jamie, ni höll upp handen, vad ser du?

Jamie: Den inledande delen existerar detsamma liksom detta inledande steget, den visar 1/2 samt 1/6.

dem delade upp 1/2 inom sjättedelar samt fick tre sjättedelar.
En traditionell uppgift i matematik har bara ett enda korrekt svar, medan en öppen uppgift är öppen på det sättet att det finns flera olika svar som är korrekta
dem la ihop ⁴/6 samt 1/2. dem gjorde en likvärdigt bråktal. Den inledande delen existerar detsamma vilket detta inledande steget, samt den andra delen existerar detsamma liksom detta andra steget [visar] hur många varenda kråka fick.

Sam: samtliga delarna dem gjorde existerar lika stora samt [de visade] stegen dem tog på grund av för att lägga mot den delen.

(Kazemi & Stipek, , s.

66)

Som kontrast mot ovanstående bör oss för tillfället ta en modell ifrån identisk lärande likt illustrerar enstaka dialog inom vilken eleverna ej resonerar matematiskt (Kazemi & Stipek, ). Eleverna svarar riktig samt dem uppmanas för att förklara sin svar. dem fullfölja detta genom för att förklara dem steg dem äger tagit till för att nå fram mot svaret.

dem ger alltså enstaka procedurell detaljer samt berättar ifall hur dem gjorde, dock ej varför. Läraren nöjer sig tillsammans med detta samt ber ej eleverna motivera varför dem gjorde såsom dem gjorde. inom stället frågar läraren dem övriga eleverna ifall dem håller tillsammans alternativt inte.

Läraren: Okej, skulle ni vilja förklara till oss vilket … Raymond: plats samt ett får enstaka, samt således ger jag dem ett halv.

Ms Andrew: således hur många får varenda person?

Raymond: ett samt 1/2. Läraren: 1/2?

Raymond: Nej, enstaka samt 1/2.

Läraren: sålunda, vad ni säger existerar för att varenda får enstaka samt 1/2. Verkar detta stämma? [Kör från JAAA ifrån eleverna. Läraren går vidare mot ett fräsch uppgift.]

(Kazemi & Stipek, , s.

68–69)

Läraren inom ovanstående extrakt ber övriga studenter kontrollera en svar vid en omfattande samt ytligt sätt genom en ja-/nejsvar, vilket visade sig artikel en typiskt beteende på grund av lärarna inom dem klasser var eleverna ej engagerades inom matematiken. Den sociomatematiska normen ett förklaring innefattar en matematiskt argument kom ej mot formulering inom dessa undervisningsrum, vilket innebar för att samtalen ej handlade ifall matematik vid en djupare plan.

Två utsagor ifrån läraren inom ett från dessa numeriskt värde klasser antyder för att en skäl mot för att läraren ej ställer krav vid eleverna för att motivera sina lösningar existerar för att läraren tror för att detta förmå artikel till svårt på grund av eleverna.

Läraren säger mot ett elev: Hur vet ni det? är kapabel ni bevisa detta på grund av mig? Kräver jag till mycket? samt mot enstaka ytterligare elev: Skulle ni äga kunnat hitta en sätt för att sammanföra dessa på grund av för att ett fåtal en tal? alternativt skulle detta gjort för att ni ägde fastnat?

Att erhålla eleverna för att jämföra olika lösningsstrategier

En ytterligare lärarhandling vilket syftar mot för att engagera eleverna inom matematiken existerar för att be dem jämföra olika lösningar.

pedagog kunna ställa frågan: vad gjorde dem andra likt skiljer sig ifrån vilket ni gjorde? Denna papper får oss modell vid inom ett dialog, ett vidgande episod, vilket handlar ifall för att fördela spelkort (Kazemi & Stipek, , s. ):

Det existerar tre högar tillsammans med 52 betalkort inom varenda vilket bör delas mellan sex personer.

Hur flera betalkort får varenda person?

De flesta eleverna löser uppgiften genom för att lägga ihop antalet begränsad inom dem tre högarna (52 x 3 = ) samt dela tillsammans med 6 [personer], vilket blir dock ett student, Ryan, använder ett ytterligare lösningsstrategi samt delar inom stället 52 tillsammans 2. Läraren ber eleverna jämföra denna lösningsstrategi tillsammans den egna.

Forskarna menar för att eleverna genom jämförelsen från lösningsstrategier ges tillfälle för att titta den elementär matematiska strukturen (Kazemi & Stipek, ).

detta önskar yttra för att sex personer såsom delar vid tre högar tillsammans med begränsad innebär för att ett tredjedel från personerna (två personer) kommer för att erhålla ett tredjedel från korten (en upphöjd tillsammans 52 kort). Detta existerar egentligen detsamma vilket 3x delat tillsammans 6, liksom existerar lika tillsammans x delat tillsammans 2.

Som framgår inom utdraget nedan behöver läraren upprepa sin fråga flera gånger samt även specificera den innan ett skola, Gail, mot slut svarar vid frågan samt beskriver den matematiska struktur vilket ligger mot bas på grund av Ryans lösning.

Läraren: Varför tror ni för att denne använder dem talen inom stället på grund av för att för söka räkna ut hur flera kreditkort han måste dela ut totalt?

[paus] slang för mikrofon, vilket tror du?

Mike: ej säker.

Läraren: ej trygg. Vilken typ från koncept kunna Ryan äga haft? vad tror ni Kelly?

Kelly: Jag existerar ej säker.

Läraren: Okej. Min fråga är: måste man räkna ut hur flera kreditkort detta existerar inom samtliga kortlekarna tillsammans innan man förmå åtgärda problemet?

Tror ni det? vilket får er för att tro det?

Elev: på grund av för att angående ni äger 52 samt ni behöver dela detta vid sex [paus]. Läraren: Okej. Gail?

Gail: dock jag tror för att detta Ryan gjorde fanns på grund av för att eftersom detta finns tre kortlekar sålunda får numeriskt värde personer dela vid varenda kortlek.

numeriskt värde personer per upphöjd samt detta existerar tre högar, detta blir sex personer totalt.

Läraren: Hörde ni honom? Vem är kapabel upprepa vad Gail noggrann sade? dem möjligen ej hörde dig. är kapabel ni skrika ut det?

Gail: därför, Ryan tog numeriskt värde personer på grund av varenda kortlek eftersom detta existerar tre kortlekar, samt eftersom detta existerar numeriskt värde personer vid varenda kortlek, således blir detta numeriskt värde gånger tre existerar lika tillsammans med sex personer.

Läraren: Hm, jag skulle vilja titta några bilder från detta vid väggen.

dock jag önskar ge er andra åtminstone fem minuter mot på grund av för att jämföra denna teknik tillsammans den ni använde inom er grupp.

(Kazemi & Stipek, , s. )

Nästa modell illustrerar den sociomatematiska norm liksom säger för att jämförelser mellan strategier bör gälla matematiska skillnader samt likheter (Kazemi & Stipek, ).

Läraren inom studien ber eleverna uppmärksamma vilket såsom existerar unikt inom några elevers svar jämfört tillsammans med deras egna lösningar. Eleverna uppmärksammar inledningsvis procedurella skillnader: för att dem använde steg. Läraren nöjer sig ej tillsammans med detta svaret utan ber eleverna specificera hur stegen såg ut.

Eleverna uppmärksammar då matematiska skillnader mellan strategierna: dem delade upp dem inom sjättedelar.

Läraren: vad använde alternativt gjorde dem likt skiljde sig ifrån vilket ni möjligen gjorde?

Jeff: dem använde steg.

Läraren: noggrann, dem delade upp detta stegvis.

dock detta plats vissa steg likt jag ej besitter sett någon ytterligare nyttja inom klassrummet än.

Carl: dem summerade hur flera kakor detta fanns totalt. Läraren: Okej, sålunda dem använde …

Jamie: dem delade upp dem inom sjättedelar, enstaka blev ovan samt då räknade dem ut hur dem skulle dela upp den rättvist därför för att samtliga kråkor fick sin beskärda del.

Läraren: noggrant, samt detta plats väldigt observant från dig för att lägga symbol mot.

då jag gick omkring inom klassrummet inom går lade jag symbol mot för att detta bara plats detta på denna plats paret liksom använde enstaka divisions algoritm till för att att fatta beslut eller bestämma något för att detta fanns ett hel bakelse plus ett bit över.

(Kazemi & Stipek, , s. 71)

Vi bör även förklara enstaka situation ifrån identisk lärande inom vilken läraren förlorar ett tillfälle för att engagera eleverna inom matematikinnehållet (Kazemi & Stipek, ).

Elevernas arbetsuppgift existerar för att lägga ihop numeriskt värde bråktal: 11/2 samt 1 1/8. enstaka skola, Ron, föreslår lösningen 21/2 samt 1/8. Läraren existerar ej tillfreds tillsammans detta svaret utan söker svaret 2 ⁵/8, detta önskar yttra en svar såsom innebär för att dem numeriskt värde bråktalen läggs ihop mot en anförande. Rons svar existerar likvärdigt tillsammans lärarens samt just likvärdiga bråktal stod inom fokus till undervisningen.

Läraren tar dock ej chansen för att diskutera detta utan konstaterar endast för att talen representerar identisk summa, dock för att Rons svar ej existerar uttryckt lika matematiskt såsom detta svar läraren söker.

Att erhålla eleverna för att bedöma en påstående alternativt enstaka lösningsstrategi

I studierna ges modell vid hur pedagog engagerar eleverna inom matematiska resonemang genom för att be dem bedöma en påstående alternativt ett lösningsstrategi, tillsammans med problem att diskutera som: vad tror du?, Håller ni med?, Tror ni för att detta existerar sant?

(Cengiz , ). enstaka sådan papper ser oss inom ett dialog var läraren ber eleverna tänka ovan ifall dem existerar övertygade från ett elevs svar från ett uppgift.

Läraren: Jag önskar bara för att varenda reflekterar ovan sitt eget utbildning samt jag önskar för att ni funderar vid angående ni existerar övertygade från vilket Susan sade?

[Läraren beskriver Susans svar från enstaka uppgift.] ifall ni ej existerar övertygade sålunda existerar detta okej, ni kunna bara yttra mot. existerar någon ej övertygad?

(Hunter, , s. )

I utforskande konversation existerar elevers idéer ett nödvändig sektion från samtalen (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ).

Exempelvis förmå elevers felsvar användas till för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt testa alternativa strategier. dem kunna vid således vis producera ingångar mot ytterligare matematisk samtal likt innefattar motivering samt verifiering.

Vi bör ta en modell vid hur ett pedagog använder några elevers felsvar på grund av för att fördjupa klassens engagemang inom matematiken (Kazemi & Stipek, ).

inom en konversation svarar numeriskt värde studenter fel, då dem påstår för att 6/8 samt 1 1/8 existerar likvärdiga. Eleverna hävdar för att båda talen kunna artikel svaret vid 1/2 plus 5/8. på denna plats kunde läraren äga nöjt sig tillsammans med för att förklara för att 6/8 samt 1 1/8 ej existerar likvärdiga. inom stället uppmuntrar läraren övriga studenter för att utforska felsvaret.

vid således vis skapar denna chans till läka klassen för att delta inom matematiska resonemang. Jessica existerar ett från dem liksom får mot övning för att motivera sitt svar inom sin assemblage samt denna debatterar bland annat genom för att visa för att en annat sätt för att notera för att 1 1/8 existerar ⁹/8. Läraren riktar sig inledningsvis mot all klassen.

Läraren: Håller ni tillsammans med angående båda svaren?

Elever: Nej.

Läraren: besitter ni något skäl mot för att ni ej håller med? Förklara ej på grund av mig, dock äger ni något skäl? Räck upp handen ifall ni besitter en skäl.

Sex personer räcker upp handen. Läraren riktar sig mot dem.

Läraren: Ni kommer erhålla ansvar till för att förklara på grund av er team varför ni ej håller med.

Läraren delar in klassen inom sex grupper samt fördelar dem sex eleverna inom grupper.

inom ett från grupperna redogör Jessica varför denna ej håller med.

Jessica: Jag tror ej för att detta existerar 6/8 till ett mot åttandel skulle bli, typ … detta existerar 4/8 inom enstaka halv. således detta skulle ej vandra. [Hon fortsätter förklara.] detta kunna ej existera ⁶/8 eftersom … dem besitter 5/8 var uppe, kolla, samt denna plats finns detta enstaka, samt bara ett mer.

Carlos: enstaka mot halva blir ett hel.

Jessica: enstaka mot halva blir enstaka hel.

detta skulle ej bli sålunda. Jag håller tillsammans angående detta andra svaret.

James: 6/8 existerar rätt.

Jessica: 6/8 existerar ej korrekt. Kolla på denna plats, var existerar 5/8. således svaret vid den inledande frågan existerar 9/8 inom stället till 6/8. [Paus.] Vänta, erhålla titta … fem … ja.

detta borde bara bli 9/8. [Läraren kommer fram mot gruppen.]

Läraren: vad kom ni fram mot inom er grupp?

Jessica: oss kom fram mot för att 6/8 ej fanns korrekt svar eftersom bara 1/8 kunde ge svaret 6/8 inom stället till 1/2. 1/2 samt enstaka 1/2 existerar enstaka hel, sålunda oss såg vid bilden för att 4/8 existerar lika tillsammans enstaka halv.

därför 4/8 samt 5/8 existerar 9/8. [Läraren går iväg.]

(Kazemi & Stipek, , s. 73)

I nästa extrakt får oss modell vid detta motsatta, detta önskar yttra för att läraren ej tar chansen för att tillsammans tillsammans med eleverna utforska deras felsvar (Kazemi & Stipek, ). Eleverna Antonia samt Rachel äger lagt ihop talen 1/8 + 1/4 + 1/4 samt kommit fram mot svaret ³/ dem besitter alltså lagt ihop nämnare samt täljare fanns på grund av sig.

denna plats ägde läraren kunnat nyttja elevernas felsvar såsom enstaka tillfälle för att jämföra storleken vid dem olika talen samt be eleverna reflektera ovan vilket talen står till. dock istället ger läraren eleverna ledtråden för att talen inom nämnarna [fyra samt åtta] ej går för att lägga ihop, samt eleverna kommer då vid hur dem bör utföra.

Både lärarens samt elevernas fokus ligger alltså vid själva proceduren, uträkningen, samt ej vid matematiken vid en djupare plan.

Lärare: Okej, detta existerar ett utmärkt gissning.
Forskaren Ronald A
dock ni förmå ej addera den denna plats 1/4 tillsammans med den på denna plats 1/8 vid detta sättet. ni är kapabel ej bara lägga ihop den denna plats fyran samt den på denna plats åttan mot tolv.

Antonia: oss möjligen skulle behärska addera …

Rachel: Åhh, oss skulle behärska dela fjärdedelarna inom åttondelar.

Lärare: Lyssna för tillfället, lyssna.

denna [hänvisar mot Rachel] besitter enstaka god koncept. [Går vidare mot nästa grupp.]

(Kazemi & Stipek, , s. 75)

Läraren är kapabel även stödja elevers engagemang inom matematiken genom för att överlåta mot eleverna för att kontrollera lösningen matematiskt, istället på grund av för att existera den auktoritet liksom avgör ifall ett svar existerar korrekt alternativt fel (Hufferd-Ackles , ; McCrone, ).

McCrone () talar angående detta såsom enstaka sociomatematisk norm samt beskriver hur den successivt etableras inom klassen beneath dem sex månader likt studien pågår. Etableringen sker genom ett förhandling mellan pedagog samt studenter. ett sådan förhandling exemplifieras inom nedanstående dialogutdrag. Samtalet handlar angående numeriskt värde anförande såsom ställts upp på grund av för att subtraheras, samt enstaka student äger räknat ut detta genom för att låna en tiotal.

Dialogen existerar ifrån en situation några månader in inom studien.

Bethany: Hm, denne använder talet 1 numeriskt värde gånger … på grund av för att ett fåtal 12 (12 tiondelar) samt …

Läraren: Ser ni plats ettorna är? Någon?

Bethany: samt då denne strök sjuan fick han enstaka sexa, därför han använde den enstaka gång.

därför angående oss bör räkna sexan borde oss räkna ettan. [till läraren] dock jag existerar ej trygg vid ifall man beräknar den?

Nikki: Joo, denne använde samtliga talen dock jag tror ej för att ettan verkligen räknas. detta existerar ej riktigt enstaka etta. detta existerar mer såsom enstaka tia.

Läraren: OK …

Bethany: detta existerar vid något sätt upp mot läraren … angående ni önskar acceptera sexan samt ettan, alternativt bara sexan, alternativt ingen alls.

Läraren: Så läraren bör fatta detta beslutet?

Bethany: Ja.

Läraren: Fattar jag detta beslutet då jag … ni skriver upp detta [på tavlan] samt jag säger: Ja, jag accepterar detta alternativt Nej, jag accepterar detta inte?
Öppna frågor, däremot, kan ha flera svar som (alla) är rätt
alternativt sker detta någon annanstans?

Bethany: Jag tror för att detta [att fatta beslut] sker någon annanstans … detta existerar vid något sätt lärarnas beslut ifall dem önskar räkna problemet.

(McCrone, , s. )

Ett annat modell ifrån identisk undersökning visar hur läraren låter eleverna ta ansvar till för att kontrollera numeriskt värde elevers skilda lösningar (McCrone, , s.

). Eleverna heter Karen samt ledare. Dialogen inleds tillsammans med för att Karen frågar läraren angående Amirs lösningsmetod existerar giltig eftersom han ej skrev ut den multiplikation såsom ingick inom lösningen. Läraren ger ej svaret utan bekräftar endast Karens undran: sålunda ni känner dig obekväm tillsammans med för att denne ej visade multiplikationen?

andra studenter kommer in inom samtalet samt säger för att både Karen samt Amirs lösningar existerar giltiga. ett från dem säger: Jag tror för att Amirs teknik existerar okej. samt för att Karen fullfölja vilket Nikki sa för att man kunde utföra. Läraren avslutar lektionen genom för att be samtliga studenter notera ner sina uppfattningar ifall om Karens alternativt Amirs plan existerar giltig, alternativt ifall dem uppfattar för att båda strategierna existerar giltiga.

Forskarna menar för att läraren vid sålunda vis ger eleverna ansvar på grund av matematiken inom uppgiften.

Att ett fåtal varenda studenter för att ta ansvar på grund av läka gruppens medvetande samt försöka nå enighet genom matematisk argumentation

En ytterligare plan på grund av för att ett fåtal elevers resonemang för att röra matematiken existerar för att läraren betonar detta individuella ansvaret inom gruppdiskussionerna.

tillsammans individuellt ansvar avses inom detta kontext för att varenda student måste ta eget ansvar på grund av för att förstå dem matematiska resonemangen liksom förs inom gruppen (Kazemi & Stipek, ), dock även för att varenda skola måste ta ansvar till för att utföra sig förstådd samt till för att försöka ett fåtal dem andra för att förstå (Hunter, ). detta räcker alltså ej tillsammans för att någon alternativt några från eleverna förstår.

enstaka pedagog uttrycker det: sålunda ni måste försäkra er ifall för att varenda individ förstår varenda sektion inom den process ni gått igenom.

Det tycks ej ständigt räcka tillsammans för att läraren bara ger generella anvisningar angående för att eleverna bör samarbeta, såsom: jobba tillsammans tillsammans ett kamrat! alternativt Kom minnas för att jobba tillsammans!

Detta framgår bland annat inom studien från Kazemi samt Stipek (). dem konstaterar för att inom vissa klasser fördelas arbetsbördan ojämt mellan eleverna, således mot vida för att detta bara existerar enstaka alternativt numeriskt värde studenter inom gruppen såsom pratar medan dem övriga eleverna tar enstaka mer perifer roll inom gruppdiskussionerna. Detta trots lärarens uppmaningar ifall för att samarbeta.

inom dessa klasser kommer alltså ej en individuellt ansvarstagande på grund av kurera gruppen mot uttryck.

Elevernas engagemang inom matematiken supportas även från lärarens förväntningar vid dem för att försöka nå enighet genom matematisk argumentation (Kazemi & Stipek, ). inom nästa modell samtalar om läraren begreppet konsensus, enighet, tillsammans eleverna, samt vilket eleverna förmå utföra ifall detta visar sig för att dem existerar oeniga.

enstaka skola äger strax innan oss kommer in inom dialogen frågat vilket begreppet betyder.

Läraren: Nja, konsensus existerar detta identisk såsom för att komma överens. dem uppnår antingen konsensus alternativt enas ifall ett svar. dock vad sker angående dem ej är kapabel att nå ett mål eller resultat konsensus alternativt enas angående enstaka lösning?

vilket tror ni för att dem gör?

Ricky: Försöker igen?

Läraren: dem får försöka igen. samt hur skulle dem behärska försöka igen samt förklara ett svar till varandra. Julie?

Julie: Rita illustrationer från våra svar.

Läraren: Okej, ni skulle behärska nyttja illustrationer till för att visa vilket ni tror för att lösningen vid problemet är.

Mark: Ni skulle båda numeriskt värde liksom behärska notera ner era svar samt jämföra, samt ifall ni båda besitter identisk svar sålunda är kapabel ni anta för att detta existerar alltså detta (rätta) svaret.

(Kazemi & Stipek, , s.

76–77)

Att ta individuellt ansvar samt försöka nå enighet genom matematisk argumentation existerar enstaka från dem sociomatematiska normer Kazemi samt Stipek fokuserar vid. identisk undersökning ger modell vid hur dem studenter resonerar såsom tycks äga införlivat denna norm. detta visar sig vid således vis för att dem existerar uppmärksamma vid varandras idéer.

Mark, exempelvis, svarar vid varenda Keishas förslag samt bedömer ifall dem behöver tecknas ner. Eleverna samtalar om enstaka övning vilket handlar ifall för att fördela tre kakor vid sex kråkor.

Keisha: därför på denna plats förklarade jag detta.

[Läser.] oss gjorde således för att oss tog tre kakor samt delade dem inom halvor eftersom tre plus tre blir sex. samt detta existerar sex kråkor.

Mark: detta på denna plats existerar vilket jag äger skrivit ner hittills. [Läser.] oss visste för att detta fanns tre kakor mot samt delade plats samt ett inom halvor. ett bakelse ägde numeriskt värde halvor, ett ytterligare bakelse ägde numeriskt värde halvor, samt (ännu) enstaka numeriskt värde halvor.

Keisha: Skriv bara samt varenda tre ägde numeriskt värde halvor.

samt varenda …

Mark: [Börjar skriva.] samt samtliga tre…, jag behöver ej nedteckna detta här.

Keisha: Okej, samt varenda kråka fick 1/2 samt … skriv bara 3 + 3 = 6 sålunda för att varenda kråka fick 1/2 från kakan.

Mark: Ja, dock dem på denna plats existerar halvor.

[Räknar halvorna från varenda kaka.] 2,2. Keisha: Ja, jag vet. 1,2,3. [Räknar kakor.] Dela dem vid hälften, 1, 2, 3, 4,

5, 6. [Räknar halvor.] detta fanns sex kråkor. varenda kråka fick 1/2.

Mark: [Skriver: varenda kråka fick enstaka halva.]

(Kazemi & Stipek, , s. 77)

Att erhålla eleverna för att föreslå andra sätt för att tänka samt åtgärda problem

I enstaka från studierna ser oss hur ett pedagog engagerar eleverna inom matematiken genom för att be dem föreslå olika alternativa sätt för att åtgärda en bekymmer (Elbers, ).

Elevernas olika lösningsförslag blir ett sektion från undervisningen samt eleverna använder dem inom sina förklaringar.

I studien följer oss samtalen mellan enstaka pedagog samt 28 studenter inom ett klass beneath enstaka undervisning. Läraren uppmanar eleverna för att föreslå olika sätt för att åtgärda en matematiskt bekymmer. Undervisningen växlar mellan grupparbete samt helklassdiskussioner.

inom helklassdiskussionerna får eleverna ta sektion från varandras lösningsstrategier samt detta framgår för att eleverna anammar varandras strategier. vid således vis utvecklar dem sin medvetande från matematiken. Eleverna arbetar tillsammans med nästa uppgift:

En farmaceut förbereder läkemedel mot fröken Jansen i enlighet med läkare Sterks ordinering.

Fröken Jansen bör äga 40 tabletter i enlighet med följande:

6 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

5 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

4 tabletter angående dagen inom 2 dagar

3 tabletter angående dagen inom 2 dagar

2 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

1 medicindos angående dagen inom 2 dagar

Detta blir dock 42 tabletter sammantaget samt farmaceuten tänker för att läkare Sterk besitter gjort en misstag.

besitter han det?

(Elbers, , s. 83)

Fyra olika lösningsstrategier föreslås. till för att underlätta läsningen besitter lösningsstrategierna kursiverats inom nästa text.

I den inledande helklassdiskussionen föreslår enstaka skola (elev 1) för att man tar antalet tabletter per ljus gånger numeriskt värde, samt sedan lägger ihop summorna, alltså 6 gånger 2, 5 gånger 2 osv.

samt sedan 12 + 10 + 8 osv. Läraren kommenterar för att detta existerar riktig, dock för att detta existerar ett omständlig väg för att vandra. Läraren frågar ifall någon student besitter ett mer praktisk svar. enstaka ytterligare student (elev 2) föreslår då en enklare sätt för att lägga ihop summorna från dem multiplicerade talen.

Eleven utför kombinationer från tio samt tjugo: 12 + 8 = 20, 6 + 4 = Då blir detta 20 + 10 + 2 =

Efter helklassdiskussionen skriver eleverna ner sina individuella lösningar vid text. varenda studenter utom numeriskt värde löser då uppgiften vid identisk sätt liksom student 1. dem numeriskt värde övriga eleverna använder enstaka färsk strategi: de lägger ursprunglig ihop antalet tabletter samt mångfaldigar summan tillsammans med två, alltså ursprunglig 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, samt sedan den summan gånger 2.

ett student vilket löst uppgiften vid detta sistnämnda sättet får redovisa sin svar till dem andra eleverna inom den efterföljande helklassdiskussionen. Läraren berömmer eleven på grund av lösningen, dock lägger mot för att den är kapabel förbättras ytterligare.

Läraren introducerar sedan ett andra utgåva från problemet: eleverna bör börja tillsammans 8 tabletter inom stället till 6.

Eleverna skriver inledningsvis ner sina lösningar individuellt vid ark. inom elevernas svar visar detta sig för att nitton studenter influerats från den föregående diskussionen samt använder strategin för att ursprunglig addera varenda tabletter samt sedan multiplicera den summan tillsammans med 2, alltså således såsom skola 2 gjorde inom den inledande helklassdiskussionen.

nära adderingen från talen använder flera studenter strategin för att utföra kombinationer från 10, exempelvis 8 + 2 = 10, 7 + 3 = numeriskt värde studenter provar något nytt samt använder svaret vid den föregående uppgiften likt ett sektion inom uträkningen, detta önskar yttra dem tar 42 (summan inom den inledande uppgiften) samt lägger mot 2 x 7 + 2 x 8 (de ytterligare tabletterna).

inom den efterföljande helklassdiskussionen ser läraren mot för att den sistnämnda lösningen tas upp.

Läraren introducerar sedan ytterligare ett variant från problemet: eleverna bör börja tillsammans med tio tabletter inom stället till åtta. Sexton studenter använder då svaret vid den föregående uppgiften vilket enstaka sektion inom uträkningen.

Beghetto från USA sammanfattar tidigare forskningsresultat om varför problemlösning är gynnsamt för elevers lärande: om elever ska lära sig ny matematik behöver de tänka på nya sätt

dem använder alltså den metod likt ett skola presenterat inom den föregående helklassdiskussionen samt vilket bara numeriskt värde studenter dittills besitter använt.

Att erhålla eleverna för att söka mönster på grund av för att behärska generalisera

Slutligen bör oss ge modell vid hur pedagog engagerar studenter inom matematiken genom för att be eleverna försöka hitta en mönster inom lösningen från matematiska bekymmer, samt vid vis hitta enstaka matematisk regel alternativt formel.

Vi bör återknyta mot klassrumsdialogen ifall fröken Jansens tabletter inom detta ovanstående stycket.

inom slutet från den lektionen får eleverna ett färsk prov (Elbers, , s. 87). Förutom för att receptet idag startar tillsammans tio tabletter, uppmanas eleverna för att reflektera ovan ifall dem förmå komma fram mot svaret utan för att summera. Läraren ger eleverna enstaka ledtråd till för att hitta en mönster, ett formel.

Läraren: Jag bör ge er enstaka ledtråd: titta denna plats, jämför dem tre siffrorna.

då jag börjar tillsammans med 6 … då jag börjar tillsammans med 8 … då jag börjar tillsammans med 12 … då ni jämför därför möjligen ni kommer mot ett slutsats, enstaka upptäckt.

Eleverna arbetar länge tillsammans med uppgiften, gruppvis. inom gemensamma resonemang jämför samt samtalar om dem olika lösningar. Läraren går runt samt pratar tillsammans med dem olika grupperna.

Diskussionen inom enstaka från grupperna resulterar inom för att några studenter finner ett svar vid lärarens kamp. Den presenteras inom enstaka helklassdiskussion. Lösningen existerar för att multiplicera antalet tabletter tillsammans med en anförande större än detta, exempelvis 6 [tabletter] x 7, 8 [tabletter] x 9 osv.

Ett annat modell vid enstaka lärares uppmaning mot eleverna för att försöka hitta ett matematisk regel ges inom nästa extrakt ifrån Drageset ().

Eleverna äger strax innan funnit flera bråktal vilket existerar likvärdiga tillsammans med enstaka halv. Läraren efterfrågar då enstaka regel till för att känna igen sådana bråktal. Då eleverna besitter gjort detta ger läraren en numeriskt modell på grund av för att titta ifall eleverna är kapabel tillämpa regeln vid det.

Läraren: Jag vet för att ni pratade angående ett regel.

kunna ni hitta ett regel var detta existerar enkel för att titta liknande likvärdiga bråk: hur kunna oss utföra enstaka sådan?

Elev 1: divisor existerar dubbelt således massiv liksom täljaren.

Läraren: Ja. divisor, detta önskar yttra den nedre, existerar dubbelt därför massiv liksom täljaren.

[Pekar vid båda.] Stämmer. Bra.

Läraren: dock ifall jag hittar vid en annat bråk likt mot modell existerar 34 [Skriver ], förmå oss då titta för att … eh … för att täljaren existerar 34, kunna oss då utföra en bråk likt existerar detsamma liksom enstaka halv?

Elev 2:

Teacher: Bravo.

[Skriver detta nedanför 34 tillsammans med ett linje emellan på grund av för att producera en bråktal.] skola 2, hur kom ni fram mot den lösningen?

(Drageset, , s. )

Ibland behövs mer stöd ifrån läraren

I dem föregående avsnitten äger oss redogjort på grund av lärarhandlingar likt syftar mot för att producera förutsättningar till elevers deltagande inom därför kallade utforskande diskussion.

detta bör dock sägas för att trots för att forskningen betonar vikten från elevers utforskande från egna samt andras matematiska idéer, sålunda innebär ej detta för att samtliga klassrumsdialoger ständigt behöver, bör alternativt är kapabel artikel utforskande. Webb samt kollegor () konstaterar mot modell för att utforskande från elevers olika idéer, speciellt ifall dem inkluderar nya idéer, ibland kunna existera kontraproduktivt samt förvirrande på grund av dem studenter liksom äger svårt för att förstå den initiala förklaringen (Webb , ).

Ibland behövs helt enkelt mer stöd ifrån läraren, vid således vis för att läraren leder samtalen inom högre grad på grund av för att behålla elevernas koncentration samt till för att eleverna ej bör tappa tråden inom resonemangen (Drageset, ).

Läraren är kapabel då egen behöva förklara alternativt tillhandahålla sina tolkningar från detta likt samtalen handlar angående (Cengiz , ; Drageset, ; Henning , ; Hufferd-Ackles , ) alternativt sålunda kunna läraren styra samtalen, utan för att detta nödvändigtvis sker vid bekostnad från elevernas aktiva deltagande (Elbers & Streefland, ; Hunter, ).

Lärarens stöd är kapabel exempelvis behövas då studenter ej själva ser sambanden mellan tidigare samt färsk förståelse, då dem ej förmår resonera matematiskt, alternativt då dem ej klart kunna uttrycka sina idéer (Cengiz , ).

Cengiz samt kollegor () formulerar sig vid nästa sätt ifall vikten från lärarens stödjande handlingar, handlingar liksom dem menar innebär mer från teacher telling:

Supporting actions could be viewed as less desirable because they involve more teacher telling. However, the information indikera that supporting actions play a significant role in ex- tending episodes (Cengiz , , s.

).

Då eleverna möter nytt matematiskt innehåll

Ett situation då läraren är kapabel behöva existera mer stödjande inom samtalen existerar då fräsch förståelse introduceras inom undervisningen. detta ser oss bland annat inom ett forskning från Hufferd-Ackles samt kollegor (). inom den beskrivs för att elevernas deltagande temporärt ändrar karaktär då nya term introduceras inom undervisningen.

Eleverna existerar då ej lika aktiva liksom dem fanns innan. dem uttrycker ej sina idéer lika gärna samt dem ställer ej problem att diskutera inom identisk utsträckning likt tidigare.

Ett modell vid en sådant situation ifrån identisk forskning existerar då undervisningen förändras ifrån för att handla ifall multiplikation samt division mot för att fokusera vid flersiffrig addition samt subtraktion (Hufferd-Ackles , ).

Eleverna blir då beneath enstaka period mindre engagerade inom resonemangen samt detta tar sedan flera dagar till eleverna för att återta sina aktiva roller. beneath dessa dagar intar läraren ett mer huvud roll genom för att ta större ansvar till samtalen. Läraren ger mer stöd inom form eller gestalt från förklaringar från innehållet, samt konstaterar inom ett samtal för att detta stödet hjälper eleverna för att hänga tillsammans med inom undervisningen:

Once inom go over it and give them a sample of how inom would explain, they seem to catch on better (Hufferd-Ackles , , s.

).

Hufferd-Ackles samt kollegor drar slutsatsen för att studenter behöver stöd från läraren på grund av för att lära sig nya mening samt term, på grund av för att sedan återigen behärska inta ett energisk roll inom dialogen:

(…) the mathematics must be accessible to students or familiar enough for them to be able to participate in meaningful discourse.

As teachers move through the year, they will need to fall back to level 1 or 2 to assist students in building vocabulary and concepts in new content areas (Hufferd-Ackles , , s. ). [Elevernas förändrade deltagande beskrivs inom nivåer, titta schematisk presentation s. 14–]

Även studien från Henning samt kollegor () visar för att elevers deltagande inom samtalen förändras då fräsch förståelse introduceras.

inom den studien beskriver forskarna hur karaktären vid diskussionerna skiljer sig beneath olika faser från en undervisningsavsnitt, allteftersom eleverna blir mer bekanta tillsammans med innehållet. dem konstaterar även för att elevernas deltagande, såsom mäts inom antalet mening såsom dem yttrar, varierar ovan faserna.

dem talar angående den start inramande diskussionen, den därpå nästa begreppsliga diskussionen då färsk insikt introduceras, samt den avslutande tillämpande diskussionen.

Den inramande diskussionen sker tidigt inom undervisningen från en del. Diskussionen besitter då liksom avsikt för att ett fåtal studenter för att delta därför många likt möjligt, aktualisera deras tidigare förståelse inom området, samt producera en meningsfullt kontext till den utbildning likt bör följa.

Uppgifterna kräver ej många matematisk insikt från eleverna. Eleverna existerar många aktiva. Läraren uppmuntrar eleverna för att delta, bekräftar deras idéer samt styr samtalet inom nedsänkt utsträckning.

Därefter följer den begreppsliga diskussionen. på denna plats existerar syftet för att erhålla eleverna för att delta inom samtalen, samtidigt såsom fräsch förståelse introduceras.

Uppgifterna existerar längre samt mer komplexa än nära dem inramande diskussionerna. Elevers deltagande inom samtalen existerar lägre än inom dem numeriskt värde övriga diskussionstyperna. Läraren ger mer stöd, genom för att exempelvis förbättra, omformulera samt summera elevernas idéer.

Den tillämpande diskussionen sker slutligen inom undervisningsavsnittet.

Syftet existerar för att eleverna bör förbättra matematisk medvetande genom för att tillämpa nyligen tillägnade term inom verkliga problemsituationer. Uppgifterna liksom ges inom den på denna plats fasen existerar dem längsta samt maximalt komplexa. Elevernas deltagande existerar såsom högst samt lärarens stöd såsom lägst.

Då studenter upplever detta matematiska innehållet liksom särskilt svårt

Nu existerar detta emellertid ej sålunda enkelt för att detta bara existerar då fräsch förståelse introduceras likt läraren behöver artikel mer stödjande.

Ayalon samt kollegor () visar för att elevers möjligheter för att delta inom matematiska resonemang existerar resultatet från en samspel mellan karaktären vid innehållet, klassen samt lärarens utbildning. dem visar för att läraren mot modell behöver beakta för att visst matematiskt innehåll är kapabel upplevas svårare för att förstå än annat, samt för att elevernas förmågor samt förkunskaper förmå äga innebörd på grund av deras deltagande.

Forskarna jämför elevernas deltagande inom diskussion inom fyra olika undervisningsrum inom vilka numeriskt värde olika matematiska innehåll behandlas: algebraiska formulering respektive algebraiska uttrycks likvärdighet (Ayalon & Even, ).

numeriskt värde pedagog, Sarah samt Rebecca, undervisar inom numeriskt värde klasser vardera. Lärarna besitter varsin klass vilket tidigare demonstrerat begränsat elevengagemang. inom detta en fallet handlar detta angående disciplinära bekymmer samt inom detta andra ifall svårigheter för att producera medvetande från innehållet.

Lärarnas utbildning skiljer sig även. Den en läraren, Sarah, dominerar samtalen genom för att inom upphöjd grad leda resonemangen, liksom för att egen motivera samt argumentera på grund av dem matematiska påståenden vilket tas upp. Den andra läraren, Rebecca, lämnar däremot ovan många ansvar mot eleverna för att motivera samt bedöma påståenden.

denna ger begränsat stöd inom struktur från exemplifieringar från hur eleverna är kapabel argumentera matematiskt.

Studien visar för att elevernas deltagande inom Sarahs klasser ser likadant ut oberoende från vilket innehåll likt behandlas (Ayalon & Even, ). Deras deltagande existerar dock begränsat jämfört tillsammans med elevdeltagandet inom Rebeccas klass, eftersom Sarah dominerar samtalen samt existerar den såsom motiverar samt diskuterar till påståenden.

inom Rebeccas klass däremot existerar eleverna inom båda klasserna aktiva inom resonemangen då undervisningen behandlar algebraiska formulering, dock ej då den handlar angående algebraiska uttrycks likvärdighet. inom detta sistnämnda fallet existerar detta bara inom den en klassen vilket eleverna svarar vid Rebeccas uppmaning för att motivera sina påståenden.

inom den andra klassen (den tillsammans med studenter liksom tidigare besitter haft svårt för att förstå matematikinnehållet) får läraren ingen respons från eleverna vid sin uppmaning mot dem för att motivera påståenden.

De slutsatser såsom forskarna drar existerar för att till den klass vilket tidigare besitter haft bekymmer tillsammans för att tillgodogöra sig detta matematiska innehållet blev detta svårt till eleverna för att följa samt föra dem matematiska resonemangen, då Rebecca endast gav en begränsat stöd även då denna undervisade detta svårare innehållet (Ayalon & Even, ).

Forskarna konstaterar inom studien för att läraren skulle äga behövt artikel mer stödjande inom klassrumsdialogerna inom detta fall.

Läraren styr dock eleverna deltar kvar aktivt

Vi besitter tidigare konstaterat för att lärarens roll inom utforskande konversation skiljer sig ifrån den inom diskussion i enlighet med IRE-modellen (Henning , ).

enstaka betydande skillnad existerar för att läraren ger utrymme på grund av elevernas matematiska idéer. Hur förmå då läraren nära behov stödja eleverna genom för att styra samtalen, utan för att detta sker vid bekostnad från elevernas aktiva deltagande? detta går oss in vid för tillfället, då oss visar hur pedagog inom dem utvalda studierna leder samtalen vid en sätt vilket fullfölja för att deras idéer ännu tas tillvara samt blir ett sektion från diskussionen.

detta sker bland annat genom för att läraren omformulerar detta eleverna säger, alternativt antyder tänkbara vägar för att vandra på grund av för att hitta ett lösning.

Omformulera detta eleverna säger

Läraren kunna genom för att upprepa detta eleverna säger, dock ej ordagrant, förtydliga enstaka elevs utsaga alternativt utföra därför för att den blir mer matematiskt rätt.

detta sistnämnda innebär mot modell för att läraren byter ut vardaglig terminologi mot mer matematisk samt tar försvunnen eventuella fel alternativt felaktig begreppsanvändning (Elbers & Streefland, ). vid således vis behålls anknytningen mot elevernas idéer dock dem uttrycks mer matematiskt korrekt.

Vi får modell vid detta inom enstaka undersökning var eleverna inom helklass samtalar om hur man kunna mäta höjden vid en en hög byggnad eller struktur genom för att nyttja tornets skugga (Elbers & Streefland, ).

Eleverna får ge förslag vid hur man är kapabel vandra tillväga. Saskia föreslår för att man använder sin personlig skugga inom uträkningen, samt läraren omformulerar, ändrar en felaktigt påstående samt förtydligar vid därför vis detta Saskia just sagt.

Saskia: Man är kapabel mäta sin personlig skugga. Den möjligen existerar hälften därför utdragen liksom ni.

Sen mäter ni tornets skugga samt delar detta tillsammans numeriskt värde. Sen vet ni hur högt tornet existerar, tror jag.

Läraren: [Riktar sig mot kurera klassen.] Saskia säger för att man kunna mäta sin personlig skugga alternativt ett fåtal den mätt. Jag vet hur utdragen jag existerar, tillsammans med min längd får jag enstaka således på denna plats utdragen skugga.

angående oss antar för att min skugga existerar numeriskt värde gånger därför utdragen liksom jag således gäller detta identisk på grund av tornet. vid således sätt kunna jag beräkna tornets höjd.

(Elbers & Streefland, , s. )

Ett annat modell vid omformulering existerar då enstaka pedagog förtydligar detta eleven uttrycker.

detta existerar ifrån ett dialog inom vilken ett student, Heath, ger enstaka rätt representation från en bekymmer, dock ett felaktig förklaring (Hunter, ). Uppgiften existerar för att räkna ut hur många man måste spara ifall man önskar köpa enstaka t-shirt till 17 dollar samt redan besitter 9 dollar vid banken. Heaths formel kunna precis förstås såsom för att Z står till kostnaden på grund av t-shirten, alltså 17 dollar.

angående man tar den kostnaden minus 9 dollar, således får man fram hur många man behöver spara. Heath säger dock för att Z står på grund av hur många man måste spara samt för att X står på grund av kostnaden på grund av t-shirten.

Heath: [Skriver Z – 9 = X.] Den inledande visar hur många oss behövde spara, den nästa hur många oss besitter vid banken, detta existerar nian, samt den sista existerar kostnaden på grund av t-shirten.

Läraren ger eleverna lite period för att tänka ovan detta Heath äger förklarat.

denna omformulerar sedan Heaths förklaring till för att ge Heath ett tillfälle för att validera den alternativt ge ett färsk förklaring.

Läraren: Jag bör bara fråga Heath vid nytt för tillfället då ni äger haft lite tidsperiod för att tänka ovan detta … ni sade för att summan såsom ni behöver spara ihop mot minus nio existerar lika tillsammans med vad t-shirten kostar.

förmå ni tänka ovan detta lite?

Heath: Jag menade egentligen för att detta [Pekar vid Z.] existerar vilket t-shirten kostar, sedan tar oss detta minus nio på grund av för att titta hur många oss behöver.

(Hunter, , s. )

Antyda enstaka möjlig lösning

En ytterligare metod vilket pedagog använder till för att styra utan för att ta ovan samtalet, existerar för att antyda enstaka möjlig väg för att vandra på grund av för att åtgärda uppgiften.

Detta kunna exempelvis ske genom för att uppmärksamma eleverna vid vissa elevers förklaringar, dem liksom existerar vid riktig spår, samt klargöra för att dem existerar intressanta för att diskutera samt undersöka vidare (Elbers & Streefland, ). oss bör exemplifiera detta tillsammans extrakt ur enstaka dialog liksom handlar angående hur man förmå mäta höjden vid enstaka byggnad tillsammans med hjälp från byggnadens skugga.

Strax innan oss kommer in inom samtalet äger eleverna inom helklass samtalat om hur skuggans längd förhåller sig mot tornets höjd. Utdraget visar hur läraren styr samtalet genom för att uppmärksamma övriga studenter vid vad Peter samt Saskia just sagt.

Peter: Hur vet ni det? [Kommenterar en uttalande angående för att skuggan existerar längre än tornet.]

Saskia: detta beror vid hur solen står.

Läraren: Peter frågar: Hur vet ni det?

Saskia svarar: detta beror vid hur solen står. är kapabel ni förklara detta Saskia?

Saskia: då solen står (rakt) ovanför således tror jag för att skuggan existerar kortare.

Läraren: således, då solen står högt existerar skuggan mindre. samt då solen går ner? [Samtalet går vidare.]

(Elbers & Streefland, , s.

)

En ytterligare forskning visar hur läraren knyter an mot elevernas resonemang genom för att uppmärksamma dem vid hur dem bingobrickor dem använder på grund av för att symbolisera valuta samt ett bägare liksom får symbolisera antal veckor, kunna förstås såsom variabler inom ett matematisk formel. enstaka formel vilket kunna användas till för att räkna ut hur många ett individ likt sparar numeriskt värde dollar inom veckan äger sparat efter en visst antal (x antal) veckor (Radford, ).

Erbjuda sin tolkning alternativt summera tidigare påståenden

Läraren är kapabel även stödja eleverna inom dem gemensamma resonemangen genom för att delge eleverna sin tolkning från detta samtalet handlar ifall.

detta exemplifieras inom nästa utsaga var läraren beskriver detta bekymmer några studenter försöker åtgärda till övriga elever: dem kämpar tillsammans med idén för att man möjligen ej behöver räkna ut hur flera betalkort detta existerar inom samtliga tre kortlekarna sammanlagt (Cengiz , , s. ). Läraren är kapabel även stödja elevers deltagande inom utforskande konversation genom för att vid olika sätt summera dem föregående påståendena (Henning , ).

Slutsatser

Översikten avser för att ge ett nyanserad samt rik foto från vad forskningen sammantaget säger angående klassrumsdialoger inom matematik.

Vår mål besitter varit för att ge svar vid vad vilket kännetecknar klassrumsdialoger såsom engagerar studenter inom matematiska resonemang samt vilket tar tillvara elevers skillnader, samt vilket likt kännetecknar lärarens ledning från liknande dialoger.

Vi är kapabel inledningsvis konstatera för att forskningen ej ger några enkla svar vid vilken alternativt vilka lärarhandlingar såsom inom allmänhet leder mot för att studenter engagerar sig inom gemensamma matematiska resonemang.

enstaka bestämd papper verkar behärska artikel produktiv inom en kontext dock ej inom en annat. Forskningen visar för att elevers deltagande snarast existerar resultatet från en samspel mellan karaktären vid innehållet, individerna inom klassen samt undervisningen.

Även ifall forskningen ej ger några enkla svar, ger den användbar förståelse ifall vilka handlingar vilket besitter potential för att engagera eleverna inom gemensamma matematiska resonemang, samt insikt angående vid vilket sätt samt varför dessa handlingar är kapabel tänkas stödja deras deltagande.

Den bidrar även tillsammans med förståelse vilket kunna ge ökad medvetande från den egna undervisningspraktiken genom för att sätta mening vid detta liksom sker inom klassrummet, samt känna igen mönster samt strukturer liksom är kapabel kännas igen. en modell existerar dem tre typer från klassrumsdialog vilket definieras inom forskningen: disputerande, kumulativa samt utforskande samtal.

Forskningen visar även för att detta läraren utför förmå äga massiv innebörd på grund av hur klassrumsdialogerna gestaltar sig.

Speciellt talande existerar dem studier vilket visar hur karaktären vid elevernas deltagande förändras sidled tillsammans lärarens sätt för att leda samtalen. Genom sitt handlande äger man alltså likt pedagog massiv chans för att förändra samtalen därför för att studenter blir mer aktiva deltagare inom gemensamma resonemang. dock studenter existerar olika – dem skiljer sig vilket gäller förmågor, erfarenheter samt temperament – därför, likt redan konstaterats, några enkla anvisningar ifall lärarhandlingar vilket fungerar oavsett kontext finns ej.

dock tillsammans med lyhördhet inför elevernas respons vid dem egna handlingarna förmå man liksom pedagog både möta samt ta tillvara elevers skillnader inom undervisningen, vilket oss idag bör diskutera.

Deltagande inom utforskande diskussion innebär för att uttrycka sina egna idéer offentligt samt för att ifrågasätta, angående än respektfullt, andra elevers idéer.

Den denna plats typen från konversation ställer alltså andra krav vid elevernas deltagande än den utbildning inom vilken läraren dominerar samt elevernas roll maximalt består inom för att svara vid lärarens problem att diskutera. för att delta inom utforskande konversation kunna kännas mer alternativt mindre utmanande på grund av olika studenter samt dessa skillnader behöver man möta såsom pedagog.

Kunskapen ifall sociala normers innebörd till elevers deltagande ger vägledning till hur elevernas engagemang inom utforskande konversation är kapabel stödjas.

Studierna visar hur pedagog genom olika handlingar – dem exemplifierar, förstärker, omformulerar – successivt etablerar gynnsamma sociala normer inom klassrummet genom för att synliggöra vilket liksom existerar förväntade beteenden inom dialogerna.

liknande uttalade förväntningar vid beteenden ger samtliga studenter vägledning till hur man resonerar gemensamt. samt möjligen ännu viktigare: uttalade förväntningar vid beteenden förmå ett fåtal tillsammans med dem studenter likt känner motstånd mot för att delta inom gemensamma resonemang. dem kunna legitimera beteenden liksom studenter är kapabel uppleva sig obekväma tillsammans med, liksom för att be andra studenter för att motivera sina påståenden, samt stödja studenter såsom tycker för att detta existerar obehagligt för att dela tillsammans med sig från idéer samt idéer likt dem känner sig osäkra på.

Elever äger skilda erfarenheter samt dem utför olika tolkningar från innehållet inom undervisningen.

Forskningen visar hur pedagog tar tillvara elevers olika matematiska idéer samt använder dem såsom enstaka tillgång på grund av för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken. tillsammans öppna ämnen lockar läraren eleverna för att uttrycka sina skilda sätt för att förstå en bekymmer, varav inget behöver artikel fel. detta kunna mot modell handla ifall olika sätt för att åtgärda en bekymmer, liksom varenda ger identisk korrekta svar.

Genom lärares handlingar – liksom för att be eleverna motivera sina påståenden samt lösningsstrategier, jämföra olika lösningar alternativt bedöma olika påståenden samt lösningsstrategier – kunna eleverna stimuleras för att utforska matematiken inom dessa idéer. inom en utforskande samtalsklimat förmå även elevers felsvar användas på grund av för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken.

Open-ended questions (OEQ) är utmanande för alla oavsett nivå och de kan individualisera undervisningen

inom en sådant klimat ses elevers felsvar ej bara vilket acceptabla utan även liksom användbara: dem ger chans för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt testa alternativa strategier.

I utforskande diskussion får elevernas matematiska idéer stort utrymme. dock detta innebär ej för att läraren lämnar ovan allt ansvar till för att utforska matematiken mot eleverna.

Även då samtalen besitter förändrats sålunda för att studenter deltar aktivt tillsammans med ämnen samt förklaringar behöver läraren finnas var på grund av för att underlätta resonemangen samt ge stöd nära behov. Dessutom behöver läraren ta större ansvar på grund av för att leda samtalen nära vissa tillfällen, mot modell då färsk insikt introduceras alternativt då eleverna upplever för att en visst innehåll existerar ytterligare svårt för att förstå.

samtliga matematiska konversation behöver heller ej existera utforskande; detta existerar ej ständigt läge. Ibland är kapabel man vilket pedagog behöva leda samtalet inom högre utsträckning på grund av för att behålla elevers koncentration, alternativt till för att dem ej bör tappa tråden.

Avslutningsvis önskar oss betona för att förändringar från matematiska konversation inom klassrummen tar period.

existerar eleverna vana för att klassrumsdialogerna inom matematik vanligen förs i enlighet med en IRE-mönster kräver förändringen både för att eleverna lär sig nya sätt för att delta inom samtalen samt känner sig trygga tillsammans dem nya förväntningarna vid deltagande. dem studier såsom beskriver förändringar inom samtalen pågår beneath flera månader.

Tabell 2.

upplysning angående dem 18 studier såsom ingår inom översikten

Författare, tid

och titel

Land

Års-kurs

Matematikinnehåll

Resultat

Ayalon ()

Factors shaping students’ opportunities to engage in argumentative activity

Israel

Åk 7

Algebra:

Generaliserbara attribut hos algebraiska formulering samt bevis från uttrycks likvärdighet (Ex.

existerar m-1 likvärdigt tillsammans med 1-m?)

Elevers möjligheter för att delta inom gemensamma matematiska resonemang formas från samspelet mellan karaktären vid matematikinnehållet, karaktären vid lärarens utbildning samt karaktären vid klassen.

Baxter ()

We talk about it, but do they get it?

USA

Åk 4

Taluppfattning samt tals användning:

Problemlösande vardagsmatematik tillsammans addition, subtraktion samt multiplikation.

Förändringen från karaktären vid pedagog samt elevers matematiska konversation beneath enstaka nioveckorsperiod.

ifrån lärarcentrerade mot elevcentrerade samtal.

Cengiz ()

Extending students&#; mathematical thinking during whole-Group discussions

USA

Åk 1–4

Taluppfattning samt tals användning:

Problemlösande vardagsmatematik tillsammans addition samt subtraktion från heltal (åk 1–3) samt multiplikation samt division (åk 4)

Lärares olika handlingar nära tillfällen då studenter engageras inom matematisk reflektion samt matematiska resonemang, sålunda kallade ”vidgande episoder” (extending episodes)

Drageset ()

Redirecting, progressing, and focusing actions-a ramverk for describing how teachers use students&#; comments to work with mathematics

Norge

Åk 5–7

Taluppfattning samt tals användning:

Egenskaper samt användning från anförande inom bråkform.

(Ex. Förklara varför ½, 2/4 samt 25/50 existerar lika)

Lärares olika handlingar inom diskussion inom heklass inom (den ordinarie) matematikundervisningen inom helklass. dem benämns inom förhållande mot hur dem förmår för att engagera/inte engagera studenter inom matematiken. ifall för att läraren ibland behöver artikel mer stödjande.

Elbers ()

Classroom interaction as reflection: learning and teaching mathematics in a community of inquiry

Neder-länderna

Åk 7–8

Taluppfattning samt tals användning samt Algebra:

Strategier på grund av problemlösning inom verklighetstrogna situationer tillsammans addition, multiplikation samt mönster inom talföljder.

Lärares handlingar på grund av för att erhålla studenter för att föreslå andra sätt för att tänka samt åtgärda bekymmer, samt vid således vis ett fåtal studenter för att lära sig olika matematiska lösningsstrategier från varandra.

Elbers ()

Collaborative learning and the construction of common knowledge

Neder-länderna

Åk 8

Geometri:

Matematiska modeller samt strategier på grund av problemlösning inom verklighetstrogna situationer tillsammans fokus vid skal samt uppskattning från längd.

(Ex. Hur kunna oss räkna ut höjden vid kyrktornet på denna plats bredvid skolan?)

Hur pedagog engagerar studenter inom en rollövning ”Vi existerar vetenskapsman. Låt oss forska!” samt vid således vis får eleverna för att delta inom gemensamma matematiska samtal.

Franke ()

Student engagement with others’ mathematical ideas: The role of teacher invitation and support moves

USA

Åk 1–5

Taluppfattning samt tals användning:

Egenskaper samt användning från heltal samt anförande inom bråkform.

Samband mellan lärares handlingar samt deras engagemang inom andra elevers idéer.

ifall för att ett samt identisk lärarhandling ofta leder mot olika engagemang hos eleverna.

Henning ()

Mathematics discussions bygd design: Creating opportunities for purposeful participation

USA

Åk 7

Geometri:

Egenskaper samt användning från geometriska term på grund av för att beräkna area samt volym från kuber, prismor, cylindrar, koner samt sfärer samt upptäcka relationer samt samband mellan olika geometriska figurer.

Om olika karaktär vid diskussionerna inom olika skeden från en undervisningsavsnitt: inramande, begreppslig samt tillämpande samtal.

angående för att pedagog samt elevers deltagande skiljer sig inom dem olika diskussionerna, exemepelvis för att läraren styr samtalen mer inom dem begreppsliga diskussionerna då fräsch förståelse introduceras.

Hufferd-Ackles ()

Describing levels and components of a math-talk learning community

USA

Åk 3

Taluppfattning samt tals användning:

De fyra räknesättens attribut samt användning tillsammans fokus vid ensiffrig multiplikation samt division samt flersiffrig addition samt subtraktion.

Beskrivningar från hur lärarens samt elevernas roller successivt förändras beneath en skolår inom riktning mot utforskande konversation.

Förändringarna beskrivs inom nivåer inom förhållande mot nyckelfaktorerna: frågande, förklarande, källa mot matematiska idéer samt ansvar på grund av utbildning samt utvärdering.

Hunter ()

Developing learning environments which support early algebraic reasoning: A case from a New Zealand primary classroom

Nya Zeeland

9–11 år

Algebra:

Förståelse samt användning från enkla algebraiska formulering samt omformulering från talföljder samt geometriska mönster mot formulering (Ex.

23 + 15 = _ + 17)

Karaktärisering från olika nivåer inom elevers engagemang inom andra elevers matematiska idéer tillsammans med begreppen utforskande, disputerande samt kumulativa samtal.
ifall hur pedagog etablerar sociala samt sociomatematiska normer till utforskande samtal.

Hunter ()

Coming to &#;know&#; mathematics through being scaffolded to &#;talk and do&#; mathematics

Nya Zeeland

Åk 4–8

Taluppfattning samt tals användning:

Förståelse samt generaliserbarhet på grund av sambandet multiplikation samt repeterande addition samt relationen del-helhet nära bråkräkning.

Förändringen från karaktären vid lärarens samt elevernas matematiska diskussion mot mer utforskande samtal.

Kazemi ()

Promoting conceptual thinking in kvartet upper-elementary mathematics classrooms

USA

Åk 4–5

Taluppfattning samt tals användning:

Egenskaper samt beräkningar tillsammans anförande inom bråkform.

medvetande till likvärdighet samt relationen del-helhet samt addition från enklare bråktal.

Om hur vissa sociomatematiska normer kommer/inte kommer mot formulering inom klassrumsdialoger inom fyra olika undervisningsrum, samt vad detta betyder till ifall eleverna existerar engagerade inom matematiken vid en djupare strategi alternativt inte.

Makar ()

Scaffolding norms of argumentation-based inquiry in a primary mathematics classroom

Austra-lien

Åk 4

Sannolikhet samt statistik:

Problemlösande vardagsmatematik tillsammans enkla undersökningar samt sortering från uppgifter inom tabeller samt diagram.

(Ex. Undersök tiden detta tar till samtliga studenter inom klassen för att studera ett bok)

Om lärares etablering från sociala normer till deltagande inom gemensamma matematiska resonemang. Läraren synliggör önskvärda beteenden, genom för att exemplifiera, förstärka samt omformulera elevernas beskrivningar från beteenden.

McCrone ()

The development of mathematical discussions: an investigation in a fifth-grade classroom

USA

Åk 5

Taluppfattning samt tals användning:

Problemlösande information tillsammans med addition samt subtraktion samt medvetande på grund av generaliserbarhet genom för att hitta mönster.

Beskrivningar från hur lärarens samt elevernas roller förändras sidled beneath sex månader inom riktning mot utforskande diskussion.

Exempelvis hur karaktären vid lärarens ämnen ändras samtidigt tillsammans med karaktären vid elevernas deltagande, samt ifall lärarens samt elevernas förhandlingar kring vissa sociomatematiska normer.

Mercer ()

Teaching children how to use language to solve maths problems

Storbri-tannien

Åk 5

Taluppfattning samt tals användning:

Förståelse till relationer mellan anförande genom för att utforska samt nyttja dem fyra räknesätten.

(Ex. Vilka räkneoperationer förmå användas på grund av för att vandra ifrån 4 mot -2?)

Beskrivning från vilket likt karaktersierar utforskande konversation samt analyser från skillnader inom lärares samt elevers beteenden inom förhållande mot ifall dem resonerar utforskande alternativt inte.

Parks ()

Diversity of practice within one mathematics classroom

USA

Åk 3

Taluppfattning samt tals användning samt Geometri:

Förståelse samt användning från beräkningsmetoder tillsammans med addition, avrundning samt area.

Om för att studenter klarar från olika arbetssätt inom undervisningen olika god.

Studien jämför elevers deltagande inom matematiska diskussioner, grupparbeten samt lekövningar.

Radford ()

Intercorporeality and ethical commitment: an activity perspective on classroom interaction

Kanada

Åk 4

Algebra:

Modellering, konstruktion samt detaljer från mönster samt talföljder.

(Ex. ett individ besitter kr samt sparar sedan 10 kr/vecka. Konstruera enstaka modell från sparprocessen mot samt tillsammans med sju dagar 5).

Om elevers gemensamma matematiska resonemang samt ifall hur läraren kunna knyta an mot detta samt ta dem steget vidare mot för att formulera ett matematisk formel.

Webb ()

Engaging with others&#; mathematical ideas: Interrelationships among lärjunge participation, teachers&#; instructional practices, and learning

USA

Åk 3–4

Taluppfattning samt tals användning:

Egenskaper hos samt problemlösande vardagsmatematik tillsammans fokus vid anförande inom bråkform.

Om numeriskt värde dimensioner från elevers engagemang inom gemensamma resonemang: 1) uttrycka sina egna matematiska idéer samt 2) engagera sig inom andra elevers matematiska idéer.

Karaktäriserar lärares olika handlingar på grund av för att engagera eleverna inom varandras idéer samt karaktäriserar olika nivåer vid elevernas engagemang inom andra elevers idéer.

Alla studier bygger vid grundlig observationer samt analyser från dialoger inom helklass.

Fortsätt läsa